Question

如圖1，△ABC中，BC=25，BC邊上的高為20，將AB，AC分別n等分，連接兩邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連接線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃…的對(duì)應(yīng)邊分別為 B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄…
（1）若n=5，如圖2，求B₃C₃為一邊的矩形的面積；
（2）若n=5，求所有矩形的面積和；
（3）當(dāng)分為n等分時(shí)，你能用含有n的表達(dá)式表示所有矩形的面積和嗎？猜想當(dāng)n越大時(shí)時(shí)所有矩形的面積和接近哪個(gè)值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出

B1C1

BC

=

AE

AD

=

4

5

，

B2C2

BC

=

AF

AD

=

3

5

，

B3C3

BC

=

AG

AD

=

2

5

，

B4C4

BC

=

AH

AD

=

1

5

，進(jìn)而得出矩形的邊長(zhǎng)即可得出答案；
（2）利用（1）中所求進(jìn)而得出其面積和；
（3）當(dāng)分割為n分時(shí)，同（1）推理可知：B₁C₁=25×

n-1

n

，B₂C₂=25×

n-2

n

，B₃C₃=25×

n-3

n

，…B_n-1C_n-1=25×

1

n

，進(jìn)而求出其面積和，再得出近似值．

解答：解：（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，交B₁C₁于E，交B₂C₂于F，交B₃C₃于G，交B₄C₄于H，則
AD⊥B₄C₄，AM⊥B₃C₃，AM⊥B₂C₂，AM⊥B₁C₁，
∵由矩形的性質(zhì)得：BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥B₄C₄，
∴△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，
∴

B1C1

BC

=

AE

AD

=

4

5

，

B2C2

BC

=

AF

AD

=

3

5

，

B3C3

BC

=

AG

AD

=

2

5

，

B4C4

BC

=

AH

AD

=

1

5

，
∵AD=20，BC=25，
∴B₁C₁=20，B₂C₂=15，B₃C₃=10，B₄C₄=5，AH=4，AG=8，AF=12，AE=16，
∴HG=GF=EF=ED=4，
∴矩形B₃C₃ML的面積為40；

（2）由（1）得所有矩形的面積和為：（5+10+15+20）×4=200；

（3）當(dāng)分割為n分時(shí)，同（1）推理可知：

B1C1

BC

=

n-1

n

，

B2C2

BC

=

n-2

n

，

B3C3

BC

=

n-3

n

，

B4C4

BC

=

n-4

n

，…

Bn-1Cn-1

BC

=

1

n

，
則B₁C₁=25×

n-1

n

，B₂C₂=25×

n-2

n

，B₃C₃=25×

n-3

n

，…B_n-1C_n-1=25×

1

n

，
則每個(gè)小矩形的高為：

20

n

，
故所有矩形的面積和為：
（25×

n-1

n

+25×

n-2

n

+25×

n-3

n

+…+25×

1

n

）×

20

n

=

25

n

（n-1+n-2+…+1）×

20

n

=

25

n

×

(n-1)n

2

×

20

n

=

250(n-1)

n

，
故當(dāng)n越大時(shí)所有矩形面積之和接近250．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的面積求法等知識(shí)，表示出矩形的長(zhǎng)與寬是解題關(guān)鍵．