Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一點，作DE⊥BC于E，連接AE，若BE=AC，BD=2

5

，DE+BC=10，則線段AE的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：設DE=x，根據(jù)DE+BC=10，得到BC=10-x，由DE垂直于BC，AC垂直于BC，得到一對直角相等，再由公共角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形BDE與三角形BAC相似，由相似得比例表示出AC²，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出x的值，確定出EC與AC的長，利用勾股定理即可求出AE的長．

解答：解：設DE=x，根據(jù)DE+BC=10，得到BC=10-x，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∵BE=AC，
∴

DE

AC

=

BE

BC

=

AC

BC

，即AC²=DE•BC=x（10-x），
在Rt△BDE中，BD=2

5

，
根據(jù)勾股定理得：BD²=BE²+DE²=AC²+DE²，即20=x（10-x）+x²，
解得：x=2，
∴AC=BE=4，EC=BC-BE=4，
在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：AE=

EC2+AC2

=4

2

．
故答案為：4

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．