Question

△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，AB=10，AC=6，AM平分∠BAC，且與⊙O相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作直線DE，使DE∥BC．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OM，交BC于N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

BM

=

CM

，再根據(jù)垂徑定理可得OM⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到直線DE與⊙O的位置關(guān)系；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P．在直角△ABP中，BP=5

3

，AP=5．則PC=AC-AP=1．在直角△BPC中，由勾股定理得到BC=2

19

；然后由垂徑定理和圓周角定理推知∠NBM=∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，易求BM=

2 57

3

．如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q．通過(guò)解直角△ABQ知：AQ=5

3

，BQ=5；最后在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=

3

3

，故AM=AQ+MQ=

16 3

3

．

解答：解：（1）連接OM，交BC于N．
∵AM平分∠BAC，
∴

BM

=

CM

，
∴OM⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OM⊥DE，
∴DE與⊙O相切；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P．
∵在直角△ABP中，∠APB=90°，∠BAC=60°，AB=10，
∴BP=AB•sin60°=5

3

，AP=

1

2

AB=5．
又 AC=6，
∴PC=AC-AP=1，
∴在直角△BPC中，由勾股定理得到：BC=

BP2+PC2

=2

19

．
由（1）知，OM⊥BC，則BN=

1

2

BC=

19

，

BM

=

CM

=

1

2

BC

，
∴∠NBM=∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，
∴BM=

BN

cos30°

=

2 57

3

．
如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q．
∴在直角△ABQ中，AQ=AB•sin30°=5

3

，BQ=

1

2

AB=5
∴在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=

BM2-BQ2

=

3

3

，
∴AM=AQ+MQ=

16 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．