Question

已知直線l：y=-

3

3

x+

3

與x軸交于B，與y軸交于A，A₁、A₂、A₃…A_n都在直線l上，B₁、B₂、B₃…B_n都在x軸上，且△OA₁B₁，△B₁A₂B₂…，△B_n-1A_nB_n都是等邊三角形，則第2014個等邊三角形的面積為

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CA₁，得出S_△OA1B1=

1

2

×A₁C×OB₁，進而求出A₂C′，得出S△A2B1B2，進而得出等邊三角形的面積變化，求出答案即可．

解答：解：過點A₁作A₁C⊥OB，A₂C′⊥OB，
∵y=-

3

3

x+

3

，與x軸交于B，與y軸交于A，則y=0時，x=3，x=0時，y=

3

，
∴A（0，

3

），B（3，0），
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAA₁=60°，
∴OA₁=AOsin60°=

3

2

，
∴CA₁=A₁Osin60°=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
∴S_△OA1B1=

1

2

×A₁C×OB₁=

1

2

×

3 3

4

×

3

2

=

9 3

16

=

9 3

42

，
由題意得：∠B₁A₁A₂=30°，
B₁A₂=

1

2

A₁B₁=

3

4

，
∴A₂C′=sin60°B₁A₂=

3

2

×

3

4

=

3 3

8

，
∴S△A2B1B2=

1

2

×

3

4

×

3 3

8

=

9 3

64

=

9 3

43

，
…
∴第2014個等邊三角形的面積為：

9 3

42015

．
故答案為：

9 3

42015

．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出三角形面積變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．