Question

如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠DAC=∠ECA=90°，OD⊥OE，AD=OC=3，CE=6，點(diǎn)P為線段AO上的動點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線OE與點(diǎn)Q；
（1）求D、E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與A，O兩點(diǎn)不重合時(shí)，求

DP

PQ

的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動到AO的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)移動路徑（線段）的圖象的解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由OD垂直于OE，得到一對角互余，再由∠ECA=90°，得到直角三角形EOC兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AD=OC，利用AAS得到三角形AOD與三角形EOC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AO=CE=6，再由OC=AD=3，即可確定出D與E的坐標(biāo)；
（2）連接DQ，由DP垂直于PQ，DO垂直于OE，得到D，P，O，Q四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理得到∠DQP=∠DOA，再直角三角形AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出所求式子的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，DQ的中點(diǎn)即是DO的中點(diǎn)M，假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P在AO中點(diǎn)時(shí)，DQ的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）就是△ODQ的中位線MN，根據(jù)D坐標(biāo)確定出M坐標(biāo)，根據(jù)E坐標(biāo)確定出N坐標(biāo)，設(shè)直線MN解析式為y=kx+b，將M，N坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線MN解析式，即可得出線段DQ的中點(diǎn)移動路徑（線段）的圖象的解析式，以及自變量的取值范圍．

解答：解：（1）∵OD⊥OE，
∴∠AOD+∠COE=180°-90°=90°，
∵∠ECA=90°，
∴∠COE+∠E=180°-90°=90°，
∴∠AOD=∠E，
在△AOD和△CEO中，

∠DAC=∠OCE=90° ∠AOD=∠E AD=OC

，
∴△AOD≌△CEO（AAS），
∴AO=CE=6，
∵OC=AD=3，
∴D（-6，3），E（3，6）；
（2）連結(jié)DQ，如圖1所示，

∵OD⊥OE，DP⊥PQ，
∴∠DPQ=∠DBQ=90°，
∴點(diǎn)D、P、O、Q都在以DQ為直徑的圓上，
∴∠DQP=∠DOA，
∵tan∠DQP=tan∠DOA，
∴

DP

PQ

=

DA

AO

=

3

6

=

1

2

；
（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，DQ的中點(diǎn)即是DO的中點(diǎn)M，

假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P在AO中點(diǎn)時(shí)，DQ的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）就是△ODQ的中位線MN，
∵點(diǎn)D（-6，3），
∴點(diǎn)M（-3，1.5），
∵當(dāng)點(diǎn)P在AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合．
∴點(diǎn)E（3，6），
∴點(diǎn)N（-1.5，4.5），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)M、N代入得：

-3k+b=1.5 -1.5k+b=4.5

，
解得：k=2，b=7.5，
∴直線MN解析式為y=2x+7.5，
則線段DQ中點(diǎn)移動路徑的圖象解析式為y=2x+7.5（-3≤x≤-1.5）．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第三問的關(guān)鍵．