Question

P為以r為半徑的⊙O外一點，T是⊙O上一點，PO交⊙O于A點，cos∠OPT=

3

2

，∠OAT=60°，PBC為⊙O割線
（1）求證：PT是切線；
（2）設PB為x，PC為y求y與x的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）由（2）中，若x、y是關于z的方程4z²-14rz+k=0的兩根，且弦長BC=l，求半徑r．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用銳角三角函數關系得出∠OPT=30°，進而利用等腰三角形的性質求出∠OTP=90°，進而得出答案；
（2）利用切割線定理得出PT²=PB•PC，進而得出y與x的函數關系式，以及利用等邊三角形的性質得出x的取值范圍；
（3）利用根據與系數的關系以及（2）中所求得出x、y是方程4z²-14rz+12r²=0的兩根，求出x，y的值，進而由BC=1，即可得出答案．

解答：（1）證明：連結OT．
∵cos∠OPT=

3

2

，
∴∠OPT=30°，
又∵∠OPT=60°，
∴∠ATP=30°，
∵OT=OA，
∴∠OTA=60°，
∴∠OTP=90°，
∴PT是⊙O的切線；

（2）解：∵PT是⊙O的切線，PBC是割線，
∴PT²=PB•PC，
∵PT²=PO²-OT²=（2r）²-r²=3r²，
∴3r²=xy，
故y=

3r2

x

，
∵PA＜x=PB≤PT，
由（1）知，△OAT是等邊三角形，PA=AT=OA=r，
故自變量x的取值范圍為：r≤x＜

3

r；

（3）解：∵x、y是關于z的方程4z²-14rz+k=0的兩根，
∴xy=

k

4

，由（2）知，

k

4

=3r²，則k=12r²，
即x、y是方程4z²-14rz+12r²=0的兩根，
解得：x=

3

2

r，y=2r或x=2r，y=

3

2

r，
由函數自變量的取值范圍是：r≤x＜

3

r，而x=2r＞

3

r舍去，
故方程的解是x=

3

2

r，y=2r，
∵BC=y-x=2r-

3

2

r=

1

2

r=1，
解得：r=2．

點評：此題主要考查了圓的綜合以及根與系數關系和切割線定理以及銳角三角函數關系等知識，熟練應用切割線定理得出y與x的函數關系是解題關鍵．