Question

四邊形OABC是直角梯形，△CDE是直角三角形，點A在y軸上，點C、E在x軸上，BC∥DE，拋物線y=-

2

3

x2+

4

3

x+2經(jīng)過A、B、C三點．△CDE沿x軸向左平行移動，移動過程中△CDE與四邊形OABC公共部分面積的最大值記為S．
（1）求四邊形OABC的面積S₀；
（2）設CE=t，試將S表示為t的函數(shù)，并求S=2時t的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當x=0時求出A點坐標，根據(jù)A點縱坐標求出B點縱坐標，令函數(shù)值為0，求出C點橫坐標；
（2）根據(jù)題意分三種情況討論：
①當CD=2CE=2t≤OA=2，即t≤1時，公共部分的最大區(qū)域為△CDE；
②當CD＞OA且CE＜OC，即1＜t＜3時，延長AB交CD于F、交DE于G，公共部分的最大區(qū)域為梯形CFGE；
③當CE≥OC，即t≥3時，公共部分的最大區(qū)域為梯形OABC．

解答：解：（1）x=0時，y=-

2

3

x+

4

3

x+2=2，可得，A（0，2）；
解-

2

3

x+

4

3

x+2=2，得，x=0（舍去）或x=2，可得，B（2，2）；
解-

2

3

x+

4

3

x+2=0得，x=-1（舍去）或x=3，可得，C（3，0）；
∴A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），
S₀=

1

2

（AB+OC）OA=5；
（2）∵BC∥DE，
∴

CD

CE

=

OA

OC-AB

=2，即CD=2CE=2t，
①當CD=2CE=2t≤OA=2，即t≤1時，公共部分的最大區(qū)域為△CDE，
∴S=S_△CDE=

1

2

t•2t=t²；
②當CD＞OA且CE＜OC，即1＜t＜3時，延長AB交CD于F、交DE于G，公共部分的最大區(qū)域為梯形CFGE，
∴S=S_{四邊形CFGE}=

1

2

（CE+FG）CF=

1

2

[t+（t-1）]×2=2t-1；
③當CE≥OC，即t≥3時，公共部分的最大區(qū)域為梯形OABC，
∴S=S₀=5；
當S=2時，由以上函數(shù)關系式知，S=2t-1=2，此時t=

3

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用圖形找到最大面積，再進行計算．要進行分類討論，注意各取值范圍．