Question

如圖，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F(xiàn)是邊CD的中點(diǎn)．      
（1）求證：AF⊥CD．
（2）連接BE，AC，AD，標(biāo)出相應(yīng)的交點(diǎn)，你能從圖中發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？請寫出3個，并相互交流．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，連接AC、AD．通過全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△AED，則對應(yīng)邊相等：AC=AD；然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）如圖，連接BE，設(shè)BE與AC、AF、AD的交點(diǎn)分別是E、G、F．根據(jù)（1）的證明過程知△ABC與△AED關(guān)于直線AF對稱，根據(jù)對稱的性質(zhì)，同（1）證得相關(guān)全等三角形，可以推知BE=EF，AE=AF，EG=FG．

解答：（1）證明：如圖，連接AC、AD．
在△ABC與△AED中，

AB=AE ∠ABC=∠AED BC=ED

，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD．
又∵F是邊CD的中點(diǎn)，
∴AF⊥CD；

（2）解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC、AF、AD的交點(diǎn)分別是E、G、F．BE=EF，AE=AF，EG=FG．理由如下：
由（1）知，△ABC≌△AED，△ACD的等腰三角形，
∴△ABC與△AED關(guān)于直線AF對稱，
∴△ABE≌△AEF，△AEG≌△AFG，
∴BE=EF，AE=AF，EG=FG．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)．（2）題屬于開放題，答案不唯一，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)還可以得到∠EAG=∠FAG、∠BAF=∠EAG等結(jié)論．