Question

【題目】如圖，已知直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），在直線上取一點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），使，連結(jié)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連結(jié)，以為直徑作．

（1）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)落在軸上，則的長(zhǎng)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；

（2）若與正方形的邊相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）與直線的交點(diǎn)為，連結(jié)，當(dāng)平分時(shí)，的長(zhǎng)為______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）．

【解析】

（1）先求出直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，進(jìn)而求出，得到，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，得OBADAM，進(jìn)而即可求解；

（2）分3種情況：①如圖1，當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，②如圖2，當(dāng)與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則，③如圖3，，當(dāng)與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則，分別求解，即可；

（3）如圖4，作于點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)，可得，，，再求出，由條件可知：，，三點(diǎn)共線，列出關(guān)于m的比例式，求出m的值，進(jìn)而即可求解．

（1）直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

，

，，．

，

，

∵點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，

，

如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，

∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAM=90°，

∴∠OBA=∠DAM，

又∵AB=DA，∠AOB=∠DMA=90°，

∴OBADAM（AAS），

∴DM=OA=4，OB=AM=8，

∴OM=8+4=12，

；

（2）①如圖2，當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，，

又∵∠ABC=90°，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴，

設(shè)與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BN，則∠BNO=90°，設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)K，則OK=8，

∵BN∥OK，

∴，即：，

∴BN=24，NE=18，

∴ON=18-6=12，

∴；．

②如圖3，當(dāng)與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則，

設(shè)與x軸交于點(diǎn)H，連接BH，則∠OHB=90°，

設(shè)，則，

∵sin∠BEH=，

，，

，

．

，

，即點(diǎn)在直線上，

聯(lián)立，解得：

∴點(diǎn)；

③如圖4，當(dāng)與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則，

設(shè)與x軸交于點(diǎn)F，連接BF，則∠OFB=90°，

設(shè)，則，

∵sin∠BEF=，

∴，，

∴．

，

∴∠ABF+∠OBF=∠BOF+∠OBF=90°，

∴∠ABF=∠BOF，

∵∠AFB=∠BFO=90°，

∴，

∴，

，解得：（舍去），

∴點(diǎn)．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；

（3）如圖5，作于點(diǎn)，連結(jié)．

設(shè)，則，

由第（2）題，可知，，，

，，

過點(diǎn)C作CT⊥GB，交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，

∵∠CBT+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠CBT=∠BAG，

又∵∠CTB=∠BGA=90°，CB=BA，

∴CTBBGA（AAS），

∴CT=BG=4m，BT=AG=2m，

∴TG=6m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)=CT-OG=4m-(3m-6)=m+6，

∴，

∵OB是的直徑，

∴直線，且過原點(diǎn)，

直線的解析式為：，

聯(lián)立，解得：，

．

平分，

，，三點(diǎn)共線，

，解得：，

，

．

故答案是：．

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5