【題目】如圖1所示,在RtABC中,C=90°,點(diǎn)D是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且AD=AB.點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn),連接DF,以DF為斜邊作等腰RtDFE,連接EA,EA滿足條件EAAB

(1)若AEF=20°,ADE=50°,AC=2,求AB的長(zhǎng)度;

(2)求證:AE=AF+BC;

(3)如圖2,點(diǎn)F是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),探究AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】(1);(2)見解析;(3)AE+AF=BC

【解析】

試題分析:(1)在等腰直角三角形DEF中,DEF=90°,求得1=20°,根據(jù)余角的定義得到2=DEF1=70°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到3=60°4=30°根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cos4=,于是得到結(jié)論;

(2)如圖1,過D作DMAE于D,在DEM中,由余角的定義得到2+5=90°,由于2+1=90°,推出1=5證得DEM≌△EFA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EM,根據(jù)三角形的內(nèi)角和和余角的定義得到3=B,推出DAM≌△ABC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM即可得到結(jié)論;

(3)如圖2,過D作DMAE交AE的延長(zhǎng)線于M根據(jù)余角的定義和三角形的內(nèi)角和得到2=B,證得ADM≌△BAC,由全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM,由于EF=DE,DEF=90°,推出4=5,證得MED≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=AF,即可得到結(jié)論.

解:(1)在等腰直角三角形DEF中,DEF=90°,

∵∠1=20°,

∴∠2=DEF1=70°,

∵∠EDA+2+3=180°

∴∠3=60°,

EAAB,

∴∠EAB=90°,

∵∠3+EAB+A=180°,

∴∠4=30°,

∵∠C=90°,

cos4=,

AB===;

(2)如圖1,過D作DMAE于D,在DEM中,2+5=90°,

∵∠2+1=90°

∴∠1=5,

DE=FE,

DEMEFA中,

,

∴△DEM≌△EFA,

AF=EM

∵∠4+B=90°,

∵∠3+EAB+4=180°,

∴∠3+4=90°,

∴∠3=B

DAMABC中,

,

∴△DAM≌△ABC,

BC=AM,

AE=EM+AM=AF+BC;

(3)如圖2,過D作DMAE交AE的延長(zhǎng)線于M,

∵∠C=90°

∴∠1+B=90°,

∵∠2+MAB+1=180°,MAB=90°,

∴∠2+1=90°2=B,

ADMBAC中,

∴△ADM≌△BAC,

BC=AM

EF=DE,DEF=90°

∵∠3+DEF+4=180°,

∴∠3+4=90°,

∵∠3+5=90°,

∴∠4=5,

MEDAFE中,

∴△MED≌△AFE,

ME=AF,

AE+AF=AE+ME=AM=BC

即AE+AF=BC.

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