【題目】已知拋物線y1=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(4,0).

(1)求拋物線y1的函數(shù)解析式;
(2)如圖①,將拋物線y1沿x軸翻折得到拋物線y2 , 拋物線y2與y軸交于點C,點D是線段BC上的一個動點,過點D作DE∥y軸交拋物線y1于點E,求線段DE的長度的最大值;
(3)在(2)的條件下,當線段DE處于長度最大值位置時,作線段BC的垂直平分線交DE于點F,垂足為H,點P是拋物線y2上一動點,⊙P與直線BC相切,且SP:SDFH=2π,求滿足條件的所有點P的坐標.

【答案】
(1)解:將點A(﹣1,0)和點B(4,0)代入y1=ax2+bx﹣4得:a=1,b=﹣3,

∴拋物線y1的函數(shù)解析式為:y1=x2﹣3x﹣4;


(2)解:由對稱性可知,拋物線y2的函數(shù)解析式為:y2=﹣x2+3x+4,

∴C(0,4),設直線BC的解析式為:y=kx+q,

把B(4,0),C(0,4)代入得,k=﹣1,q=4,

∴直線BC的解析式為:y=﹣x+4,

設D(m,﹣m+4),E(m,m2﹣3m﹣4),其中0≤m≤4,

∴DE=﹣m+4﹣(m2﹣3m﹣4)=﹣(m﹣1)2+9,

∵0≤m≤4,∴當m=1時,DEmax=9;

此時,D(1,3),E(1,﹣6);


(3)解:由題意可知,△BOC是等腰直角三角形,

∴線段BC的垂直平分線為:y=x,

由(2)知,直線DE的解析式為:x=1,

∴F(1,1),

∵H是BC的中點,

∴H(2,2),

∴DH= ,F(xiàn)H=

∴SDFH=1,

設⊙P的半徑為r,

∵SP:SDFH=2π,
∴r= ,

∵⊙P與直線BC相切,

∴點P在與直線BC平行且距離為 的直線上,

∴點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上,

∵點P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上,

∴﹣x+2=﹣x2+3x+4,

解得:x1=2+ ,x2=2﹣ ,

﹣x+6=﹣x2+3x+4,

解得:x3=2+ ,x4=2﹣

∴符合條件的點P坐標有4個,分別是(2+ ,﹣ ),(2﹣ , ),(2+ ,4﹣ ),(2﹣ ,4+ ).


【解析】(1)(1)把A(﹣1,0)和點B(4,0)坐標代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法即可求出;(2)關于x軸翻折后的解析式可套用點關于x軸對稱坐標變換方法即x不變,y變?yōu)槠湎喾磾?shù)-y ,-y=x2﹣3x﹣4,即y2=﹣x2+3x+4;豎直線段的最值問題可以化歸為函數(shù)最值問題,須構(gòu)建以動點D的橫坐標m為自變量,DE長為因變量的函數(shù),豎直線段等于上、下兩端點的縱坐標之差來表示,二次函數(shù)最值問題可用配方法解決;(3)利用互垂直線的斜率積=-1求出BC的垂直平分線的解析式,由SP:SDFH=2π,得r= ,,由⊙P與直線BC相切,可知點P在與直線BC平行且距離為 的直線上,由點P在直線y=﹣x+2或y=﹣x+6的直線上,點P在拋物線y2=﹣x2+3x+4上,聯(lián)立解析式﹣x+2=﹣x2+3x+4和﹣x+6=﹣x2+3x+4,分別解方程即可.

練習冊系列答案
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A.B.

C.D.

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A.1<k<9
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C.1≤k≤16
D.4≤k<16

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