Question

銳角中，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別在邊上滑動(dòng)，且，以為邊向下作正方形，設(shè)其邊長為，正方形與公共部分的面積為．

（1）中邊上高 ；

（2）當(dāng) 時(shí)，恰好落在邊上（如圖1）；

（3）當(dāng)在外部時(shí)（如圖2），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（注明的取值范圍），并求出為何值時(shí)最大，最大值是多少？

 

 

Answer 1

（1）AD=4；

（2）x=2.4；

（3）y=﹣（x﹣3）2+6．當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，最大值是6．

【解析】

試題分析：（1）利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．

（2）因?yàn)檎�方形的位置在變化，但�?/span>△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，

（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達(dá)式．

試題解析：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；

（2）當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時(shí)，

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴，

即，x=2.4；

（3）設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形．

設(shè)ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴，即，

∴．

∴y=MN•NF=x（﹣x+4）=﹣x2+4x（2.4＜x＜6），

配方得：y=﹣（x﹣3）2+6．

∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，最大值是6．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題2.矩形的性質(zhì)．