Question

【題目】【結(jié)論再現(xiàn)】

（）如圖①，在中， ， ，則__________， __________．

【問題解決】

（）如圖②，四邊形是一張邊長(zhǎng)為的正方形紙片， 、分別為、的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)的折痕將紙片翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，求的度數(shù)和的長(zhǎng)．

【問題探究】

（）如圖③，點(diǎn)是等腰斜邊所在直線上一點(diǎn)，且滿足，求的大小和此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（）30， ；（）， ；（）的度數(shù)為或， ．

【解析】試題分析：（1）通過求∠B 的正弦和正切即可得；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得∠C=∠A=90°，AD=BC=CD=AB，又由E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，即可得在Rt△A′DF中，由sin∠FA′D= = ，即可求得∠DA′F的度數(shù)，再由平角即可得的度數(shù)，再利用勾股定理通過計(jì)算即可得BG的長(zhǎng)；

（3）分①點(diǎn)D 在BC邊上，②點(diǎn)D 在BC延長(zhǎng)線上，兩種情況通過討論即可得.

試題解析：（）； ．

（）∵折疊后得到，∴，且，

∴在中， ，sin∠FA′D= =，∴，

∴，

在中， ，∴，

又∵在中， ，那么，

∴，∴，

則，那么 ．

（）如圖，①當(dāng)在邊上時(shí)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，

與（）同理可證≌，

∴， ，

∵，∴，∴，∴，

∵,∴四邊形． 、． 四點(diǎn)共圓，∴，

∴．

②當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

同理可證： ，

∵,∴四邊形． ． 、四點(diǎn)共圓，∴，

∴，

綜上， 的度數(shù)為或．

比值計(jì)算如下：

過點(diǎn)作，如圖，

則在中， ， ，∴， ，

在中， ，

設(shè)， ，∴，

∴，

∴．