【題目】如圖,拋物線y=x24x1頂點為D,與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C

1)求這條拋物線的頂點D的坐標;

2)經(jīng)過點(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x24x1相交于MN兩點(MN的左側),以MN為直徑作⊙P,過點D作⊙P的切線,切點為E,求點DE的長;

3)上下平移(2)中的直線MN,以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切?如果能夠,求出⊙P的半徑;如果不能,請說明理由.

【答案】1)點D的坐標為(2,-5);(2DE=6;(3)能夠相切,理由見解析.

【解析】

1)利用配方法即可將函數(shù)解析式變形為:y=x-22-5,由頂點式即可求得這條拋物線的頂點D的坐標;

2)由經(jīng)過點(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x2-4x-1相交于MN兩點(MN的左側),即可求得MN的坐標,即可求得P的坐標,然后即可求得PEPD的長,根據(jù)切線的性質,由勾股定理即可求得DE的長;

3)根據(jù)已知,可得點P的橫坐標為2,又由以MN為直徑的⊙Px軸相切,可得拋物線過點(2+r,r)或(2+r,-r),將點的坐標代入解析式即可求得r的值,則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切.

1)∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=x-22-5

∴點D的坐標為(2,-5);

2)∵當y=4時,x2-4x-1=4

解得x=-1x=5,

M坐標為(-1,4),點N坐標為(5,4),

MN=6P的半徑為3,點P的坐標為(2,4),

連接PE,則PEDE,

PD=9,PE=3,

根據(jù)勾股定理得DE=6

3)能夠相切.

理由:設⊙P的半徑為r,根據(jù)拋物線的對稱性,拋物線過點(2+r,r)或(2+r-r),

代入拋物線解析式得:(2+r2-42+r-1=r

解得r=r=(舍去),

把(2+r,-r)代入拋物線得:(2+r2-42+r-1=-r,

解得:r=,或r=(舍去).

練習冊系列答案
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