【題目】一個四邊形被一條對角線分割成兩個三角形,如果被分割的兩個三角形相似,我們被稱為該對角線為相似對角線.

1)如圖1,正方形的邊長為4,E的中點(diǎn),,連結(jié).,求證:為四邊形的相似對角線.

2)在四邊形中,,,平分,且是四邊形的相似對角線,求的長.

3)如圖2,在矩形中,,,點(diǎn)E是線段(不取端點(diǎn)A.B)上的一個動點(diǎn),點(diǎn)F是射線上的一個動點(diǎn),若是四邊形的相似對角線,求的長.(直接寫出答案)

【答案】1)見解析(2;(33

【解析】

1)根據(jù)已知中相似對角線的定義,只要證明AEF∽△ECF即可;
2AC是四邊形ABCD的相似對角線,分兩種情形:ACBACDACBADC,分別求解即可;
3)分三種情況①當(dāng)AEFCEF關(guān)于EF對稱時,EF是四邊形AECF的相似對角線.②取AD中點(diǎn)F,連接CF,將CFD沿CF翻折得到CFD′,延長CD′ABE,則可得出 EF是四邊形AECF的相似對角線.③取AB的中點(diǎn)E,連接CE,作EFADF,延長CBFE的延長線于M,則可證出EF是四邊形AECF的相似對角線.此時BE=3;

解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
AB=BC=CD=AD=4,
E的中點(diǎn),,

AE=DE=2

∵∠A=D=90°,
∴△AEF∽△DCE,
∴∠AEF=DCE,

∵∠DCE+CED=90°,
∴∠AEF+CED=90°,
∴∠FEC=A=90°,

∴△AEF∽△ECF,
EF為四邊形AECF的相似對角線.

2)∵平分

∴∠BAC=DAC =60°

AC是四邊形ABCD的相似對角線,
∴△ACBACDACBADC
①如圖2,當(dāng)ACBACD時,此時,ACB≌△ACD

AB=AD=3,BC=CD
AC垂直平分DB,
RtAOB中,∵AB=3,∠ABO=30°

②當(dāng)ACBADC時,如圖3

∴∠ABC=ACD

AC2=ABAD
,

6=3AD,
AD=2,
過點(diǎn)DDHABH

RtADH中,∵∠HAD=60°,AD=2

RtBDH中,

綜上所述,的長為:

3)①如圖4,當(dāng)AEFCEF關(guān)于EF對稱時,EF是四邊形AECF的相似對角線,

設(shè)AE=EC=x,
RtBCE中,∵EC2=BE2+BC2,
x2=6-x2+42
解得x=,
BE=AB-AE=6-=
②如圖5中,如圖取AD中點(diǎn)F,連接CF,將CFD沿CF翻折得到CFD′,延長CD′ABE,則 EF是四邊形AECF的相似對角線.

AEF∽△DFC,

③如圖6,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,作EFADF,延長CBFE的延長線于M,則EF是四邊形AECF的相似對角線.則 BE=3

綜上所述,滿足條件的BE的值為3

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銷售品種

A種蔬菜

B種蔬菜

每噸獲利()

1200

1000

其中A種蔬菜的5%,B種蔬菜的3%須運(yùn)往C市場銷售,但C市場的銷售總量不超過5.8噸.設(shè)銷售利潤為W(不計(jì)損耗),購進(jìn)A種蔬菜x噸.

1)求Wx之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)將這140噸蔬菜全部銷售完,最多可獲得多少利潤?

3)由于受市場因素影響,公司進(jìn)貨時調(diào)查發(fā)現(xiàn),A種蔬菜每噸可多獲利100元,B種蔬菜每噸可多獲利m(200m400)元,但B種蔬菜銷售數(shù)量不超過90噸.公司設(shè)計(jì)了一種獲利最大的進(jìn)貨方案,銷售完后可獲利179000元,求m的值.

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