Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn).

⑴求該拋物線的解析式；

⑵設(shè)⑴中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

⑶在拋物線上BC段是否存在點(diǎn)P，使得△PBC面積最大，若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，Q(－1，2)；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B，求得直線BC的解析式，求得與對稱軸的交點(diǎn)即是所求；

（3）存在，設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴．

∴拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在．

理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，

∴直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時△AQC周長最小，

∵y=-x2-2x+3，

∴C的坐標(biāo)為：（0，3），

直線BC解析式為：y=x+3，

Q點(diǎn)坐標(biāo)即為，

解得，

∴Q（-1，2）；

（3）存在．

理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），

∵S△BPC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-，

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，

=BEPE+OE（PE+OC）

=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

= (x+)2++，

當(dāng)x=-時，S四邊形BPCO最大值=+，

∴S△BPC最大=+＝，

當(dāng)x=-時，-x2-2x+3=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，）．