Question

（本題滿分14分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象記為拋物線．

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過兩點(diǎn)，記為拋物線，如圖②，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）請?jiān)趫D②上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形．若存在，請判斷點(diǎn)共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡）并在圖中畫出P點(diǎn)，以P1、P2、P3、、、表示不同的點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，為拋物線一點(diǎn)．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1） （2）5個(gè) （3）（3,2）

【解析】

試題分析：（1）可設(shè)出平移后的二次函數(shù)的解析式，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得l2的函數(shù)表達(dá)式．

（2）應(yīng)有三點(diǎn)：①以A為圓心，AB為半徑作弧可交拋物線l2于一點(diǎn)；②以B為圓心，AB為半徑坐標(biāo)交拋物線于另一點(diǎn)；③作線段AB的垂直平分線可交拋物線于兩點(diǎn)，因此共有5個(gè)符合條件的P點(diǎn)．

（3）第一種情況：根據(jù)函數(shù)的對稱性可以求出K點(diǎn).

第二種情況：本題可通過求三角形的面積來求K的坐標(biāo)．由于三角形ABC的面積無法直接求出，因此可其轉(zhuǎn)換成其他規(guī)則圖形面積的和差來解．分別過A、B、C三點(diǎn)作x軸的垂線，因此△ABC的面積可用三個(gè)直角梯形的面積差來求出．設(shè)出K的坐標(biāo)，利用上面面積求法求出K的坐標(biāo).

試題解析：（1） 設(shè)拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為，

把A，B代入得

解之得b=-4，c=5

所以的解析式為.

（2） 由題意可做圖為

由圖可以直接看出共5個(gè)點(diǎn).

（3）第一種情況：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015012006024117318376/SYS201501200602488453409836_DA/SYS201501200602488453409836_DA.001.png">，所以可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,1），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可以知當(dāng)K點(diǎn)和A點(diǎn)對稱時(shí)兩個(gè)三角形的面積相等，由對稱軸x=2可求得K點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以K的坐標(biāo)為（3,2）.

第二種情況：

由函數(shù)的解析式可求出C的坐標(biāo)（2,1），然后過ABC作垂線（如圖），利用梯形的面積差可以求出=3，設(shè)K點(diǎn)為（x，y），同理可用面積法求出K點(diǎn)的坐標(biāo)為和，所以有三種情況，分別為（3,2）.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，梯形的面積，基本作圖