Question

【題目】如圖，是的直徑，、是弧（異于、）上兩點(diǎn)，是弧上一動點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，則、兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接BE，由題意可得點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，由此可得∠AEB＝135°，為定值，確定出點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是是弓形AB上的圓弧，此圓弧所在圓的圓心在AB的中垂線上，根據(jù)題意過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，在CD的延長線上，作DF＝DA，則可判定A、E、B、F四點(diǎn)共圓，繼而得出DE＝DA＝DF，點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心，設(shè)⊙O的半徑為R，求出點(diǎn)C的運(yùn)動路徑長為，DA＝R，進(jìn)而求出點(diǎn)E的運(yùn)動路徑為弧AEB，弧長為，即可求得答案.

連結(jié)BE，

∵點(diǎn)E是∠ACB與∠CAB的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，

∴BE平分∠ABC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，為定值，，

∴點(diǎn)E的軌跡是弓形AB上的圓弧，

∴此圓弧的圓心一定在弦AB的中垂線上，

∵，

∴AD=BD，

如下圖，過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，

∠BDO＝∠ADO＝45°，

在CD的延長線上，作DF＝DA，

則∠AFB＝45°，

即∠AFB+∠AEB＝180°，

∴A、E、B、F四點(diǎn)共圓，

∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，

∴DE＝DA＝DF，

∴點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心，

設(shè)⊙O的半徑為R，

則點(diǎn)C的運(yùn)動路徑長為：，

DA＝R，

點(diǎn)E的運(yùn)動路徑為弧AEB，弧長為：，

C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長比為：，

故選A.