【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)設(shè)(1)題中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足SPAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè)(1)題中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)解析式為y=x22x3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+1,4),(2+1,4),(1,4);(3)存在, Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣2).

【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx+c軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0)B(3,0)

┄ 2

解之,得┄ 3

所求拋物線的解析式為:y=x2-2x-3 ┄ 4

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意,得

SABC=×4×|y|=8 ┄ 5

∴|y|=4, ∴ y=±4 ┄ 6

當(dāng)y=4時(shí), x2-2x-3=4 ∴ x1=1+, x2=1-┄ 7

當(dāng)y=-4時(shí),x2-2x-3=-4 ∴ x=1 ┄ 8

當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、(1,-4)時(shí),SPAB="8." ┄ 9

(3) 解法1

在拋物線y=x2-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q, 使得ΔQAC的周長(zhǎng)最小. ┄ 10

∵AC長(zhǎng)為定值,要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小,只需QA+QC最小.

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

由幾何知識(shí)可知,Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn) ┄ 11

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3.

直線BC過點(diǎn)B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1.

直線BC的解析式為 y=x-3 ┄ 12

當(dāng)x=1時(shí),y=-2.

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2). ┄ 13

(3) 解法2

在拋物線y=x2-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q ,使得ΔQAC的周長(zhǎng)最小. ┄ 10

∵AC長(zhǎng)為定值,要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小,只需QA+QC最小

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3)

由幾何知識(shí)可知,Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn). ┄ 11

∵OC∥DQ,

∴ΔBDQ∽ΔBOC.

,即. ┄ 12

∴DQ=2. ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2). ┄ 13

1)已知了拋物線過B、C兩點(diǎn),而拋物線的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù),因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值,也就出了二次函數(shù)的解析式.

2)根據(jù)(1)中得出的拋物線的解析式,可求得A點(diǎn)的坐標(biāo),也就能得出AB的長(zhǎng).△PAB中,AB的長(zhǎng)為定值,那么可根據(jù)△PAB的面積求出PAB的距離,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,然后將其代入拋物線的解析式中(分正負(fù)兩個(gè)值)即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

3)本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置,已知了BA點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,因此只需連接BC,直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn).可根據(jù)BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式,然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).

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