【題目】如圖,點(diǎn)P在y軸的正半軸上,⊙P交x軸于B、C兩點(diǎn),以AC為直角邊作等腰Rt△ACD,BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點(diǎn),連接AC、FC.
(1)求證:∠ACF=∠ADB;
(2)若點(diǎn)A到BD的距離為m,BF+CF=n,求線段CD的長(zhǎng);
(3)當(dāng)⊙P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時(shí),的值是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出其值;若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】見解析
【解析】
(1)連接AB,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=AD,推出∠ADB=∠ABD,根據(jù)∠ABD=∠ACM求出即可;
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H,求得∠FCD=∠FDC,根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD的平方,即可求出答案;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AO于N,過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BC于Q根據(jù)AAS證△DAM ≌△ACO和△DAF ≌△CAF,推出DH=AO,AH=OC,推出DQ=BQ,得出∠DBQ=45°,推出∠HDE=45°,得出等腰直角三角形DHE即可.
解:(1)證明:∵ PO⊥BC
∴ BO=CO
∴ AO垂直平分BC
∴ AB=AC
又∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形
∴ AC= AD
∴ AB= AD
∴ ∠ABD=∠ADB
∵ ∠ABD=∠ACF
∴ ∠ACF =∠ADB
解:(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H
∴ AH=1
∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形
∴ ∠ACD=∠ADC
∵ ∠ACF =∠ADB
∴∠ACD-∠ACF =∠ADC-∠ADB
即:∠FCD=∠FDC
∴ CF =DF
∵ BF+CF=14
∴ BD= BF+ DF = BF+CF =14
又∵ AB= AD
∴ BH= DH=BD=7
∴在Rt△ADH中:AD=
∴ AC= AD
∴ CD=
解:(3)的值不發(fā)生變化,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M
∴ ∠DMA=∠AOC=90°
∴ ∠OAC+∠ACO=90°
∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形
∴ ,∴ ∠DAC=90°,AC= AD
∴ ∠DAM +∠OAC = 90°
∴∠DAM=∠ACO
∴ △DAM ≌△ACO
∴ DM=AO
在△DAF與△CAF中,
AD=AC,AF=AF,DF=CF,
∴ △DAF ≌△CAF
∴ ∠DAF=∠CAF = 45°
∴ ∠CBF=∠CAF = 45°
∴ ∠BEO = 45°
∴ ∠DEM=∠BEO = 45°
∴ △DEM是等腰直角三角形
∴
∴
“點(diǎn)睛”本題考查了等腰直角三角形,全等三角形的性質(zhì)和判,及勾股定理,線段垂直平分線性質(zhì),解(1)小題的關(guān)鍵是求出AB=AC=AD,解(2)小題的關(guān)鍵是求出BH的長(zhǎng),解(3)小題的關(guān)鍵是證出△DEM是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是過(guò)A的一條直線, 且B、C在AE的異側(cè), BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求證: BD=DE+CE.
(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)(BD<CE), 其余條件不變, 問(wèn)BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)給予證明;
(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(shí)(BD>CE), 其余條件不變, 問(wèn)BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)直接寫出結(jié)果, 不需證明.
(4)根據(jù)以上的討論,請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)BD與DE,CE的數(shù)量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題,請(qǐng)你解答.
如圖所示,底座上A,B兩點(diǎn)間的距離為90cm.低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長(zhǎng)為155cm,高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長(zhǎng)為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng).(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D.求證:
(1)D是BC的中點(diǎn);
(2)△BEC∽△ADC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=-x+b與y軸相交于點(diǎn)B(0,3),與x軸交于點(diǎn)A,將△AOB沿y軸折疊,使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合.聯(lián)結(jié)PB.以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB于點(diǎn)M,使∠BPM=∠BAC.
①求證:△PBC∽△MPA.
②是否存在點(diǎn)P,使△PBM為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】寒梅中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活,計(jì)劃購(gòu)買圍棋和中國(guó)象棋供棋類興趣小組活動(dòng)使用,若購(gòu)買3副圍棋和5副中國(guó)象棋需用98元;若購(gòu)買8副圍棋和3副中國(guó)象棋需用158元;(1)求每副圍棋和每副中國(guó)象棋各多少元;(2)寒梅中學(xué)決定購(gòu)買圍棋和中國(guó)象棋共40副,總費(fèi)用不超過(guò)550元,那么寒梅中學(xué)最多可以購(gòu)買多少副圍棋?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某新建公園有一個(gè)圓形人工湖,湖中心O處有一座噴泉,小明為測(cè)量湖的半徑,在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn),在A處測(cè)得∠OAB=45°,在AB延長(zhǎng)線上的C處測(cè)得∠OCA=30°,已知BC=50米,求人工湖的半徑.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD,AD∥BC,∠B=90,AD=6,AB=4,BC=9.
(1)求CD的長(zhǎng)為.
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)t為何值時(shí),△PDC為等腰三角形?
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