Question

【題目】如圖，已知直線y=-x+b與y軸相交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，將△AOB沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合．聯(lián)結(jié)PB．以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB于點(diǎn)M，使∠BPM=∠BAC．

①求證：△PBC∽△MPA．

②是否存在點(diǎn)P，使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（-4，0）；（2）①證明見解析，②存在．使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)P1（-，0），P2（0，0）．

【解析】

（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)求得直線解析式，再求得A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個(gè)三角形相似；
②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標(biāo)；
當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA═90°時(shí)，BP⊥AC，則此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．

（1）解：∵直線y=-x+b與y軸相交于點(diǎn)B（0，3），

∴b=3，

∴直線的解析式為y=-x+3，

令y=0，得到x=4，

∴A（4，0），

∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，

∴C（-4，0）；

（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，

∴∠PMA=∠BPC，

又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，

∴∠BCP=∠MAP，

∴△PBC∽△MPA；

②解：存在．

由題意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）

當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO，

∴=，即=，

∴PO=，即：P1（-，0）．

當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA═90°，

∴∠PAM+∠MPA=90°，

∵∠BPM=∠BAC，

∴∠BPM+∠APM=90°，

∴BP⊥AC．

∵過點(diǎn)B只有一條直線與AC垂直，

∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為：P2（0，0）．

∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)P1（-，0），P2（0，0）．