Question

如圖，弦ST所對(duì)的圓心角為120°，AB為直徑，ST在半圓上滑動(dòng)，M是ST的中點(diǎn)，P是S對(duì)AB所作垂線的垂足，則∠SPM的值為（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、7 5°

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,四點(diǎn)共圓

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OM、OS、OT，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OM⊥ST，∠SOM=

1

2

∠SOT=60°，由于SP⊥OA，根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)A和點(diǎn)M都在以O(shè)S為直徑的圓上，所以∠SPT=∠SOM=60°．

解答：解：連結(jié)OM、OS、OT，如圖，
∵OS=OT，
而M為ST的中點(diǎn)，
∴OM⊥ST，OM平分∠SOT，即∠SOM=

1

2

∠SOT=

1

2

×120°=60°，
∵SP⊥OA，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)M都在以O(shè)S為直徑的圓上，
∴∠SPT=∠SOM=60°．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．