Question

如圖，AB是的⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）若∠CAD=36°，求∠BCD；
（2）試判斷△ACD與△CBD是否相似；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,扇形面積的計算,相似三角形的判定

專題：

分析：（1）由圓周角定理和已知條件可得：∠CAD=∠BCD；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形ABC，再根據兩角對應相等即可證明三角形相似；
（3）結合圖形，知陰影部分的面積即為半圓的面積減去直角三角形ABC的面積．根據相似三角形的性質即可求得BC的長，再根據勾股定理求得AC的長，從而求解．

解答：解：（1）∵AB是的⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠CAD=36°；

（2）△ABC∽△CBD，理由如下：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在△ABC與△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD；

（3）∵△ABC∽△CBD，
∴

CB

DB

=

AB

BC

，
∴CB²=DB•AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=8

3

，
∴S_陰影部分=

1

2

π×42-S△ABC=8（π-

3

）．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及直角三角形和半圓的面積公式