Question

如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊CD于點(diǎn)E，∠ABC的平分線BF交邊CD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G．
（1）求證：DF=EC；
（2）請(qǐng)你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由角平分線知∠ADE=∠DEA，由平行知∠DEA=∠EAG，所以∠DAE=∠DEA，即AD=DE，同理CF=BC，又AD=BC，所以DE=CF，去掉公共部分，則有DF=CE；
（2）由于AE、BF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以△EFG已經(jīng)是直角三角形了，要成為等腰直角三角形，則必須有FG=EG即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC．
∴∠DEF=∠EAB，
∵∠BAD的平分線AE交邊CD于點(diǎn)E，
∴∠DAE=EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
同理可證：BC=CF，
∵AD=BC，
∴DE=CF，
∴DF=CE；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵AE、BF分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠AGB+∠BGA=90°．
∴∠AGB=90°．
∴∠FGB=90°．
因此我們只要保證添加的條件使得GF=FE就可以了．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，以及直角三角形的判定，難易程度適中．