Question

【題目】如圖已知直線與拋物線y=ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），交x軸正半軸于D點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求△PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上且位于其對稱軸右側(cè)，當(dāng)△QMN與△MAD相似時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），P（，）；（3）N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．

【解析】

（1）將點(diǎn)代入，求出，將點(diǎn)代入，即可求函數(shù)解析式； （2）如圖，過作軸，交于，求出的解析式，設(shè)，表示點(diǎn)坐標(biāo)，表示長度，利用，建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可， （3）可證明△MAD是等腰直角三角形，由△QMN與△MAD相似，則△QMN是等腰直角三角形，設(shè) ①當(dāng)MQ⊥QN時(shí)，N（3，0）； ②當(dāng)QN⊥MN時(shí)，過點(diǎn)N作NR⊥x軸，過點(diǎn)M作MS⊥RN交于點(diǎn)S，由（AAS），建立方程求解； ③當(dāng)QN⊥MQ時(shí)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，過點(diǎn)N作NS∥x軸，過點(diǎn)作R∥x軸，與過M點(diǎn)的垂線分別交于點(diǎn)S、R；可證△MQR≌△QNS（AAS），建立方程求解； ④當(dāng)MN⊥NQ時(shí)，過點(diǎn)M作MR⊥x軸，過點(diǎn)Q作QS⊥x軸，過點(diǎn)N作x軸的平行線，與兩垂線交于點(diǎn)R、S；可證△MNR≌△NQS（AAS），建立方程求解．

解：（1）將點(diǎn)代入，∴，

將點(diǎn)代入，

解得：，

∴函數(shù)解析式為；

（2）如圖，過作軸，交于，設(shè)為，

因?yàn)椋?/span>所以：

，解得：，

所以直線AB為：，設(shè)，則，

所以：，

所以：

，

當(dāng)，，

此時(shí)：．

（3）∵，

∴，

∴△MAD是等腰直角三角形．

∵△QMN與△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，

設(shè)

①如圖1，當(dāng)MQ⊥QN時(shí)，此時(shí)與重合，N（3，0）；

②如圖2，當(dāng)QN⊥MN時(shí)，過點(diǎn)N作NR⊥x軸于，過點(diǎn)M作MS⊥RN交于點(diǎn)S．

∵QN=MN，∠QNM=90°，∴（AAS），

∴，

∴ ，，∴，∴；

③如圖3，當(dāng)QN⊥MQ時(shí)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，過點(diǎn)N作NS∥x軸，過點(diǎn)作 R∥x軸，與過點(diǎn)的垂線分別交于點(diǎn)S、R；

∵QN=MQ，∠MQN=90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），,

,∴，∴t=5，（舍去負(fù)根）∴N（5，6）；

④如圖4，當(dāng)MN⊥NQ時(shí)，過點(diǎn)M作MR⊥x軸，過點(diǎn)Q作QS⊥x軸，

過點(diǎn)N作x軸的平行線，與兩垂線交于點(diǎn)R、S；

∵QN=MN，∠MNQ=90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ=RN，

∴，∴．

，∴，∴；

綜上所述：或或N（5，6）或．