Question

【題目】如圖，已知：AD為△ABC的中線，過B、C兩點(diǎn)分別作AD所在直線的垂線段BE和CF，E、F為垂足，過點(diǎn)E作EG∥AB交BC于點(diǎn)H，連結(jié)HF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P。

（1）求證：DE=DF

（2）若；①求：的值；②求證：四邊形HGAP為平行四邊形。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)AD是△ABC的中線得到BD＝CD，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠FDC＝∠EDB，又因?yàn)椤?/span>DFC＝∠DEB＝90°，即可證得△BDE≌△CDF，繼而證出DE=DF；（2）設(shè)BH＝11x，HC＝5x，則BD＝CD＝BC＝8x，DH＝3x，HC＝5x，根據(jù)EH∥AB可得△EDH∽△ADB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例以及DE＝DF得到的值；②進(jìn)一步求出的值，得到，再根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FH∥AC ，即PH∥AC，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形這一定理即可證得四邊形HGAP為平行四邊形。

解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，

∵∠FDC和∠EDB是對(duì)頂角，∴∠FDC＝∠EDB ，

又∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠DFC＝∠DEB＝90°，

∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF.

（2）設(shè)則

① ∵EH∥AB

∴△EDH∽△ADB ∴∵

∴

②∵ ∴∵∴FH∥AC ∴PH∥AC

∵EG∥AB∴四邊形HGAP為平行四邊形