Question

【題目】（操作發(fā)現(xiàn)）

如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．

∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．

（實踐探究）

（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長是 　．

（2）如圖②，點M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（拓展）

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）6；（2），見解析；（3）2

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△ADM得到BE=DM，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，證出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN，再證明△AMN≌△EAN（SAS），得出MN=EN最后證出MN=BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理計算即可得到正方形的邊長；

(2 )先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AEG≌△AEF（SAS），再證明∠GBE=90°，再根據(jù)勾股定理即可得到；

(3)在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，連結(jié)PQ交AM于點R，得到ABQP為正方形，再根據(jù)操作發(fā)現(xiàn)以及勾股定理即可得到答案；

（1）（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋轉(zhuǎn)得：△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，

在△AMN和△EAN中，

∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM．
在Rt△CMN中，

，

則BN+DM=5，
設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則BN=BC-CN=x-3，DM=CD-CM=x-4，
∴x-3+x-4=5，
解得：x=6，
即正方形ABCD的邊長是6；
故答案為：6；

（2）數(shù)量關(guān)系為：，證明如下：

將△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABG，連結(jié)EG．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AF=AG，

又∵∠EAF＝45°，

∴,

且AE=AE，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

從而得EG＝EF．（全等三角形對應(yīng)邊相等），

又∵BN＝DM，BN∥DM，

∴四邊形DMBN是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∴DN∥BM，

∴ （兩直線平行，同位角相等），

∵,

∴（等量替換），

即：∠GBE=90°，

則，

∴；

（3）在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，連結(jié)PQ交AM于點R，

易證ABQP為正方形，

由操作與發(fā)現(xiàn)知：PR+BN＝RN．

設(shè)PR＝x，則RQ＝3﹣x，RN=1+x，QN=3-1=2

在Rt△QRN中，由勾股定理得：

，

即

解得：x＝，

∴PR=

∵PQ∥DC，

∴△APR∽△ADM，

∴ （相似三角形對應(yīng)邊成比例）

∴

∴DM＝2；