【題目】如圖,在ABCD中,連接對(duì)角線(xiàn)BD,BE平分∠ABDAD于點(diǎn)E,DF平分∠BDCBC于點(diǎn)F

1)求證:AEB≌△CFD;

2)若BD=BA,試判斷四邊形DEBF的形狀,并加以證明.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2四邊形DEBF是矩形;理由見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC,CD∥BA,∠A=∠C,AB=CD,得出∠ABD=∠BDC,由角平分線(xiàn)的定義證出∠DBE=∠FDB,由ASA證明△AEB≌△CFD即可;(2)先證明四邊形DEBF是平行四邊形,再根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)推知BE⊥AD,然后由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”證得四邊形DEBF是矩形即可.

本題解析:1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC,CDBAA=C,AB=CD

∴∠ABD=BDC(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

又∵BE平分∠ABDDF平分∠BDC,

∴∠ABE=DBE=ABDCDF=BDF=BDC

∴∠DBE=FDB=DBE=BDF(等量代換),

AEBCFD中, ,

∴△AEB≌△CFDASA);

2)解:四邊形DEBF是矩形;理由如下:

由(1)知:∠DBE=BDF

BEDF,

DEBF,

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

BD=BA,BE是∠ABD的平分線(xiàn),

BEAD,

∴∠DEB=90°

∴四邊形DEBF是矩形(有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形).

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