Question

△ABC中，AO平分∠BAC，BD⊥AD，交AO延長線于點D，E為BC中點，求證：DE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長AC、BD交于點F，可以證得△ABF是等腰三角形，則DE是△BCF的中位線，依據(jù)三角形中位線定理即可證得．

解答：證明：延長AC、BD交于點F，如圖，

∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADF=90°
∵在△ABD和△AFD中，

∠BAD=∠FAD AD=AD ∠ADB=∠ADF

，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB=AF，BD=DF，
又∵E是BC的中點，即ED是△BCF中位線，
∴DE=

1

2

CF=

1

2

（AF-AC）=

1

2

（AB-AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確證得DE是△BCF中位線是關鍵．