Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，如果E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，BE交AF于G，DF交EC于H，那么四邊形EGFH是平行四邊形．請(qǐng)說(shuō)明：
（1）若將“E、F分別是AD、BC中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF”，四邊形EGFH是否仍為平行四邊形？若是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是平行四邊形，請(qǐng)畫圖舉反例說(shuō)明．
（2）若將“E、F分別是AD、BC中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE=DF”，四邊形EGFH是否仍為平行四邊形？若是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是平行四邊形，請(qǐng)畫圖舉反例說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及其判定即可解決問(wèn)題；
（2）作輔助線，構(gòu)造全等三角形；利用平行線的性質(zhì)及平行四邊形的判定等幾何知識(shí)即可解決問(wèn)題．

解答：解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC；
又∵E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，∴AE=

1

2

AD，CF=

1

2

BC，
故AE=CF，而AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，GF∥EH；同理可證GE∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（1）∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF；
又∵AE∥CF，DE∥BF，∴四邊形AECF、四邊形DEBF均為平行四邊形，
∴GF∥EH，GE∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）分別過(guò)點(diǎn)B、D作BG⊥DA，DH⊥BC，分別交DA、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DG∥BH；
又∵BG⊥DA，DH⊥BC，∴BG=DH；
在Rt△BGE與Rt△DHF中，
∵

BE=DF BG=DH

，∴△BGE≌△DHF（HL），
∴∠GEB=∠DFH；
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DFH，
∴∠GEB=∠EDF，BE∥DF，而DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，GE∥FH；
∵四邊形EBFD是平行四邊形，∴ED=BF，而AD=BC，
∴AE=CF，而AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，GF∥EH，而GE∥FH，
∴四邊形EGFH仍為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了平行四邊形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的判定及其性質(zhì)；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．