Question

已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．
①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；
②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）把（x-m）看作一個(gè)整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；
（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
②首先表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可．

解答：（1）證明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）解：①y=0，則a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得：x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-

1

2

）²-

1

4

a
△ABC的面積=

1

2

×1×|-

1

4

a|=1，
解得：a=±8．

②x=0時(shí)，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，am²+am），
△ABD的面積=

1

2

×1×|am²+am|，
∵△ABC的面積與△ABD的面積相等，
∴

1

2

×1×|am²+am|=

1

2

×1×|

a

4

|，
整理得，m²+m-

1

4

=0或m²+m+

1

4

=0，
解得：m=

-1± 2

2

或m=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與圖象交點(diǎn)求法以及根的判別式、三角形的面積求法，把（x-m）看作一個(gè)整體求解更加簡便．