Question

如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：DP平分∠ADC；
（2）若∠CEF=75°，CF=，求△AEF的面積．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）2.

試題分析：（1）連接PC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=EF=PA．運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．分別求DF和PH的長(zhǎng)，再計(jì)算面積．設(shè)DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，運(yùn)用勾股定理可求DF；根據(jù)三角形中位線定理求PH．
試題解析：（1）證明：連接PC．

∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中點(diǎn)，
∴PA=EF，PC=EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共邊），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；
（2）由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°，
∵設(shè)BE=x．
∴，．
又，
則.
解之，得
∴
∴