Question

已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，P是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，且PB=PD，過D點(diǎn)作DE⊥AC，交AC延長線于點(diǎn)E，求AP與CE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：過P點(diǎn)作PF⊥AB于F，先根據(jù)AAS證得△PBF≌△DPE，得出PF=DE，然后再證得△APF≌△CDE得出AP=CD，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出CD=2CE，進(jìn)而得出AP與CE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：過P點(diǎn)作PF⊥AB于F，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=30°，
∴CD=2CE，∠EPD=90°-∠PDE=90°-∠CDE-∠PDB=60°-∠PDB=60°-∠PBD，
∵∠FBP=∠ABC-∠PBD=60°-∠PBD，
∴∠FBP=∠EPD，
在△PBF和△DPE中，

∠FBP=∠EPD ∠PFB=∠DEP=90° BP=PD

，
∴△PBF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE，
在△APF和△CDE中，

∠A=∠ECD=60° ∠PFA=∠DEC=90° PF=DE

，
∴△APF≌△CDE（AAS），
∴AP=CD，
∴AP=2CE．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．