Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后，折疊DE分別交AB、AC于E、G，連接GF，下列結(jié)論：
①∠FGD=112.5°；②BE=2OG；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形．
其中正確結(jié)論的序號是

 

（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定,菱形的判定,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形和折疊性得出∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，再由三角形的內(nèi)角和求出∠FGD=112.5°．故①正確，
（2）由四邊形ABCD是正方形和折疊，判斷出四邊形AEFG是平行四邊形，再由AE=EF，得出四邊形AEFG是菱形．利用45°的直角三角形得出GF=

2

OG，BE=

2

EF=

2

GF，得出BE=2OG，故②④正確．
（3）由四邊形ABCD是正方形和折疊性，得到△ADG≌△FDG，所以S_△AGD=S_△FDG≠S_△OGD故③錯(cuò)誤．

解答：解：（1）由四邊形ABCD是正方形和折疊性知，
∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，
∴∠FGD=180°-∠DFG-∠FDG=180°-45°-22.5°=112.5°，
故①正確，
（2）由四邊形ABCD是正方形和折疊性得出，
∠DAG=∠DFG=45°，∠EAD=∠EFD=90°，AE=EF，
∵∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠DFG，
∴AB∥GF，
又∵∠BAC=∠BEF=45°，
∴EF∥AC，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∴四邊形AEFG是菱形．
∵在RT△GFO中，GF=

2

OG，
在RT△BFE中，BE=

2

EF=

2

GF，
∴BE=2OG，
故②④正確．
（3）由四邊形ABCD是正方形和折疊性知，
AD=FD，AG=FG，DG=DG，
在△ADG和△FDG中，

AD=FD AG=FG DG=DG

∴△ADG≌△FDG（SSS），
∴S_△AGD=S_△FDG≠S_△OGD
故③錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題主要考查了折疊問題，菱形的判定及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確圖形折疊前后邊及角的大小沒有變化．