【題目】如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC邊上的中點(diǎn),CE⊥AD于點(diǎn)E,BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:AC=2BF
(2)連接DF,求證:AB垂直平分DF
(3)連接AF,試判斷△ACF的形狀,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)等腰三角形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)易證∠CDA=∠F,即可證明△ACD≌△CBF,可得CD=BF,易證AC=2CD,即可解題;
(2)連接DF交AB于G點(diǎn),易證BD=BF,∠ABC=45°,根據(jù)△ACD≌△CBF,可求得∠ABF=45°,即可證明∴△DBG≌△FBG,可得DG=FG,∠DGB=∠FGB,即可求得∠DGB=∠FGB=90°,即可解題;
(3)由△CBF≌△ACD,得出CF=AD,由AB垂直平分DF,得出AF=AD,證得CF=AF,即可得出結(jié)論.
證明:(1)∵BF∥AC,且∠ACB=90°
∴BC⊥BF,
又∵CF⊥AD
∴∠DCE+∠F=90°,∠DCE+∠CDA=90°,
∴∠CDA=∠F,
在△ACD和△CBF中, ,
∴△ACD≌△CBF(AAS),
∴CD=BF,
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
∴AC=BC=2CD,
∴AC=2BF;
(2)連接DF交AB于G點(diǎn),
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
∴AC=2BD,
∵AC=2BF,
∴BD=BF,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°,
∵△ACD≌△CBF,
∴∠CBF=∠ACD=90°,
∴∠ABF=45°,
在△DBG和△FBG中,,
∴△DBG≌△FBG(SAS),
∴DG=FG,∠DGB=∠FGB,
∵∠DGB+∠FGB=180°,
∴∠DGB=∠FGB=90°,
∴AB垂直平分DF;
(3)連接AF
由(1)知:△CBF≌△ACD,
∴CF=AD,
由(2)知:AB垂直平分DF,
∴AF=AD,
∵CF=AD,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì),有以下5個(gè)項(xiàng)目可供選擇:徑賽項(xiàng)目:100 m,200 m,1 000 m(分別用A1,A2,A3表示);田賽項(xiàng)目:跳遠(yuǎn),跳高(分別用T1,T2表示).
(1)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè),恰好是田賽項(xiàng)目的概率為_________;
(2)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選兩個(gè),求恰好是一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的概率(請(qǐng)利用列表法或樹(shù)狀圖加以說(shuō)明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為萬(wàn)元,可變成本逐年增長(zhǎng),已知該養(yǎng)殖戶第年的可變成本為萬(wàn)元,第年的養(yǎng)殖成本為萬(wàn)元,現(xiàn)在要求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率,我們可設(shè)可變成本平均的每年增長(zhǎng)的百分率為,則可列方程為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在四邊形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AB⊥AD,點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上,且∠BAC=∠DAE.
(1)求證:AC=AE;
(2)求證:CA平分∠BCD;
(3)如圖(2),設(shè)AF是△ABC的邊BC上的高,試求CE與AF之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=―x2+(6―)x+m―3與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn)(x1<x2),交y軸于C點(diǎn),且x1+x2=0。
(1)求拋物線的解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程。
(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使△PBC≌△OBC,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠OBC=∠OCB.
(1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;
(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋(gè)條件使矩形ABCD為正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的拋物線D1OD8組成.若建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(-13,-1.69),則橋架的拱高OH=________米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) (a≠0)的圖象如圖所示,
有下列結(jié)論:
①a、b同號(hào);
②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等;
③4a+b=0;
④當(dāng)-1<x<5時(shí),y<0.
其中正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一棵樹(shù)CD的10m高處的B點(diǎn)有兩只猴子,它們都要到A處池塘邊喝水,其中一只猴子沿樹(shù)爬下走到離樹(shù)20m處的池塘A處,另一只猴子爬到樹(shù)頂D后直線躍入池塘的A處.如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等,試問(wèn)這棵樹(shù)多高?
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