【題目】如圖(1),在四邊形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AB⊥AD,點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上,且∠BAC=∠DAE.
(1)求證:AC=AE;
(2)求證:CA平分∠BCD;
(3)如圖(2),設(shè)AF是△ABC的邊BC上的高,試求CE與AF之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)EC=2AF.
【解析】
(1)首先根據(jù)∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,得出∠ABC=∠ADE,進(jìn)而可判定△ABC≌△ADE(ASA),即可得出AC=AE;
(2)由(1)中△ABC≌△ADE得出AC=AE,∠BCA=∠E,進(jìn)而得出∠ACD=∠E,∠BCA=∠E=∠ACD,即可判定CA平分∠BCD;
(3)首先過點(diǎn)A作AM⊥CE,由角平分線的性質(zhì)得出AF=AM,然后由∠BAC=∠DAE,得出∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,再由AC=AE,∠CAE=90°,得出∠ACE=∠AEC=45°,由AM⊥CE,得出∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,進(jìn)而得出CM=AM=ME,又由AF=AM,即可得出EC=2AF.
(1)證明:如圖(1),∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC與△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(ASA)
∴AC=AE.
(2)證明:如圖(1),∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BCA=∠E,
∴∠ACD=∠E,
∴∠BCA=∠E=∠ACD,
即CA平分∠BCD;
(3)解:EC=2AF.證明如下:
如圖(2),過點(diǎn)A作AM⊥CE,垂足為M,
∵AM⊥CD,AF⊥CF,∠BCA=∠ACD,
∴AF=AM,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°,
∵AC=AE,∠CAE=90°,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
∵AM⊥CE,
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°,
∴CM=AM=ME,
又∵AF=AM,
∴EC=2AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在學(xué)校組織的科學(xué)素養(yǎng)競(jìng)賽中,每班參加比賽的人數(shù)相同,成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),其中相應(yīng)等級(jí)的得分依次記為90分,80分,70分,60分,學(xué)校將八年級(jí)一班和二班的成績(jī)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息解答下列問題
(1)此次競(jìng)賽中二班成績(jī)?cè)?0分以上(包括70分)的人數(shù)為___;
(2)請(qǐng)你將表格補(bǔ)充完整:
(3)請(qǐng)根據(jù)上述圖表對(duì)這次競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行分析,寫出兩個(gè)結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1,A2,A3…都在x軸上,點(diǎn)B1,B2,B3…都在直線y=x上,OA1=1,且△B1A1A2,△B2A2A3,△B3A3A4,…△Bn A n A n+1…分別是以A1,A2,A3,…An…為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則△B10A10A11的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E為CD的中點(diǎn),連接AE、BE,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△DAE≌△CFE;
(2)若AB=BC+AD,求證:BE⊥AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我區(qū)某中學(xué)對(duì)學(xué)生會(huì)倡導(dǎo)的“獻(xiàn)愛心”捐款活動(dòng)進(jìn)行抽樣調(diào)查,被調(diào)查的學(xué)生捐款情況如圖所示。
(1)該校共調(diào)查了______名學(xué)生。
(2)捐款15元以上的學(xué)生頻率是_______。
(3)若該校共有1800名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生一共捐款至少多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD切⊙O于D點(diǎn),弦DE∥CB,Q是AB上一動(dòng)點(diǎn),CA=1,CD是⊙O半徑的倍.
(1)求⊙O的半徑R;
(2)當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中,圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)你說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)你求出陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC邊上的中點(diǎn),CE⊥AD于點(diǎn)E,BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:AC=2BF
(2)連接DF,求證:AB垂直平分DF
(3)連接AF,試判斷△ACF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要證明△ABC≌△DEF,需要添加一個(gè)條件為_______(只添加一個(gè)條件即可);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明的爸爸和媽媽上山游玩,爸爸步行,媽媽乘坐纜車,相約在山頂纜車的終點(diǎn)會(huì)合.已知爸爸步行的路程是纜車所經(jīng)線路長(zhǎng)的2.5倍,媽媽在爸爸出發(fā)后50分鐘才坐上纜車,纜車的平均速度為每分鐘180米.圖中的折現(xiàn)反映了爸爸行走的路程(米)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)爸爸行走的總路程是 米,他途中休息了 分鐘;
(2)當(dāng)時(shí),與之間的函數(shù)關(guān)系式是 ;
(3)爸爸休息之后行走的速度是每分鐘 米;
(4)當(dāng)媽媽到達(dá)纜車終點(diǎn)是,爸爸離纜車終點(diǎn)的路程是 米.
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