Question

已知拋物線y=

1

2

x²-mx+2m-

7

2

的頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求證：不論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3，求m的值和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖，直線y=x-1與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，并與它的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D．直線x=k交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．求當(dāng)k為何值時(shí)，以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）從

1

2

x²-mx+2m-

7

2

=0的判別式出發(fā)，判別式總大于等于3，而證得；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

=-3來(lái)求m的值；然后利用配方法把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由此可以寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到：MN=|k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）|=CD=4．             
需要分類(lèi)討論：①當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，MN=k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）=4，通過(guò)解該方程可以求得k的值；
②當(dāng)四邊形CDNM是平行四邊形，NM=

1

2

k²-3k+

5

2

-（k-1）=4，通過(guò)解該方程可以求得k的值．

解答：解：（1）△=（-m）²-4×

1

2

×（2m-

7

2

）=（m-2）²+3，
∵不論m為何實(shí)數(shù)，總有（m-2）²≥0，
∴△=（m-2）²+3＞0，
∴無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程

1

2

x²-mx+2m-

7

2

=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，拋物線y=

1

2

x²-mx+2m-

7

2

與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3，
∴-

-m

2× 1 2

=3，即m=3，
此時(shí)，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+

5

2

=

1

2

（x-3）²-2，
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，-2）． 

（3）∵CD∥MN，C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．
由已知D（3，2），M（k，k-1），N（k，

1

2

k²-3k+

5

2

），
∵C（3，-2），
∴CD=4．
∴MN=|k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）|=CD=4．             
①當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，
MN=k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）=4，
整理得k²-8k+15=0，
解得k₁=3（不合題意，舍去），k₂=5；

②當(dāng)四邊形CDNM是平行四邊形，
NM=

1

2

k²-3k+

5

2

-（k-1）=4，
整理得k²-8k-1=0，
解得k₃=4+

17

，k₄=4-

17

，．
綜上所述，k=5，或k=4+

17

，或k=4-

17

時(shí)，可使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的頂點(diǎn)公式和平行四邊形的判定與性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．