Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中四邊形A₁B₁C₁D₁，其中A₁（2，-2）、
B₁（0，2）、C₁（-2，1）、D₁（0，-1），A₁B₁、C₁D₁分別與x軸交于點(diǎn)P（1，0）和Q（-1，0）．
（1）畫出四邊形A₁B₁C₁D₁關(guān)于y軸對(duì)稱的四邊形A₂B₂C₂D₂，并寫出各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求四邊形A₁B₁C₁D₁與A₂B₂C₂D₂重疊部分的面積；
（3）在坐標(biāo)系里適當(dāng)?shù)剡x取一點(diǎn)E，寫出它的坐標(biāo)，使得△B₁OP與△B₁EC₁全等，并能以此證明A₁B₁⊥C₁B₁（寫出簡要的證明過程）．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換,全等三角形的判定

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A₂、B₂、C₂、D₂的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱性，重疊部分的面積等于2S_△B1PD1列式計(jì)算即可得解；
（3）取E（-2，2），根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得OP=EC₁，OB₁=EB₁，然后利用“邊角邊”證明△B₁OP與△B₁EC₁全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠OB₁P=∠EB₁C₁，然后求出∠C₁B₁A₁=90°，根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答：解：（1）四邊形A₂B₂C₂D₂如圖所示，A₂（-2，-2），B₂（0，2），C₂（2，1），D₂（0，-1）；
（2）重疊部分為四邊形D₁PB₁Q，
由對(duì)稱性知，重疊部分的面積=2S_△B1PD1，
所以，重疊部分的面積=2×

1

2

×3×2=6；

（3）取E（-2，2），連接EB₁、EC₁，
在△B₁OP與△B₁EC₁中，

OP=EC1=1 ∠B1OP=∠B1EC1=90° OB1=EB1

，
∴△B₁OP≌△B₁EC₁（SAS），
∴∠OB₁P=∠EB₁C₁，
∴∠C₁B₁A₁=∠C₁B₁O+∠OB₁P=∠C₁B₁O+∠EB₁C₁=∠EB₁O=90°，
∴A₁B₁⊥C₁B₁．
[注：選取（0，1）也可]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．