如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中有?OCDE和一直角三角形OMN,∠OMN=90°,點C,點M分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上,點E、D在第一象限,點N在第三象限,OC=6,OE=4,∠EOC=60°,N(-2
3
,-2),M(0,2)
(1)將△OMN繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,請你在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(其中M與A對應(yīng),N與B對應(yīng));
(2)求過O、C、D三點的拋物線;
(3)將△OAB向右沿x軸平移,求△OAB與?OCDE重合部分的面積y與平移的距離m之間的函數(shù)關(guān)系式(其中0<m<8).
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)如圖1,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形;
(2)如圖1,過點E作EP⊥OC于P.利用平行四邊形的性質(zhì)易求點C、D的坐標(biāo),設(shè)過O、C、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0),把點C,D的坐標(biāo)代入來求a、b的值;
(3)由(2)可得tan∠AOB=
2
3
2
=
3
,∠AOB=60°,且AB=EP,∠BAO=∠EPO=90°,故B、E、D三點共線.
分類討論:①當(dāng)0<m≤2時,如圖2,重疊部分是等邊△OO1F1;
②當(dāng)2<m≤4時,如圖3,重疊部分的面積為四邊形A2O2F2H.
③當(dāng)4<m≤6時,如圖4,重疊部分的面積為△A3B3O3;
④當(dāng)6<m<8時,如圖5,重疊部分的面積為四邊形CF4B4A4
解答:解:(1)如圖1,△ABO即為所求;

(2)如圖1,過點E作EP⊥OC于P.
∵OC=6,∴C(6,0).
∵OE=4,∠EOC=60°,
∴OP=OE•cos60°=2,EP=OE•sin60°=2
3
,
∴E(2,2
3
).
∵四邊形OCDE是平行四邊形,
∴ED
.
OC,∴D(8,2
3
).
設(shè)過O、C、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0),把點D,C的坐標(biāo)代入,得
0=36a+6b
2
3
=64a+8b
,
解得
a=
3
8
b=-
3
4
3
,
則該拋物線的解析式為:y=
3
8
x2-
3
3
4
x;

(3)由(2)可得tan∠AOB=
2
3
2
=
3
,
∴∠AOB=60°,且AB=EP,∠BAO=∠EPO=90°,
∴B、E、D三點共線.
①當(dāng)0<m≤2時,如圖2,重疊部分是等邊△OO1F1,則y=
3
4
m2;
②當(dāng)2<m≤4時,如圖3,重疊部分的面積為四邊形A2O2F2H.
OA2=m-2,A2H=(m-2)•tan60°=
3
(m-2),
則y=
3
4
m2-
3
2
(m-2)2=-
3
4
m2+2
3
m-2
3

③當(dāng)4<m≤6時,如圖4,重疊部分的面積為△A3B3O3,則y=
1
2
×2×2
3
=2
3
;
④當(dāng)6<m<8時,如圖5,重疊部分的面積為四邊形CF4B4A4,則y=2
3
-
3
4
(m-6)2=-
3
4
m2+3
3
m-7
3
點評:本題考查了二次函數(shù)綜合題.其中涉及到了平行四邊形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積的計算.在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
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