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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+x+c過點A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點,M是線段AP的中點,將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB.過點B作x軸的垂線、過點A作y軸的垂線,兩直線相交于點D.

(1)求此拋物線的對稱軸;

(2)當t為何值時,點D落在拋物線上?

(3)是否存在t,使得以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似?若存在,求此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)對稱軸為:x=;(2)當t=3時,點D落在拋物線上;(3)當t=﹣2+2、t=8+4時,以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似.

【解析】試題分析:(1)根據題意利用待定系數法求出函數解析式,從而得到對稱軸;(2)根據題意得出點M的坐標,根據旋轉的性質得出點E和點B的坐標,從而得到點D的坐標,然后求出t的值;(3)分0t8t8兩種情況,每種情況分兩種情況進行討論計算,得出t的值.

試題解析:(1)由題得,,解得

拋物線的解析式為: ,它的對稱軸為:

2)由題意得: ,

繞點P順時針旋轉90°而得, , .從而有

假設在拋物線上,有, 解得

,即當時,點D落在拋物線上.

3時,如圖,

1)若∽△ADB,此時,有: , ,即,

化簡得,此時無解。

∽△ADB, 此時,有: , ,即,

化簡得: ,關于的一元二次方程的判別式,

由求根公式得:

, 。

時,如圖,若POA∽△ADB

1)若∽△ADB,此時,有:

,即,化簡得,解得(負根舍去)。

2)若∽△ADB,同理得此時無解。

綜合上述:當時,以AB、D為頂點的三角形與PEB相似。

練習冊系列答案
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