Question

以點A（0，4），B（8，4），C（0，8）為頂點的四邊形OABC在平面直角坐標系中位置如圖，現(xiàn)將四邊形OABC沿直線AC折疊使點B落在點D處，AD交OC于E．
（1）試求E點坐標及直線AE的解析式；
（2）試求經(jīng)過點O、D、C三點拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）一動點P從點A出發(fā)，沿射線AB以每秒一個單位長度的速度勻速運動．
①當(dāng)t為何值時，直線PE把△EAC分成面積之比為1：3的兩部分；
②在P點的運動過程中，是否存在某一時刻使△APE為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)AAS定理得出△AEO≌△CED，再根據(jù)勾股定理求出OE的長，進而得出E點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式即可；
（2）過D作DG⊥OC于G，可得出△CDE∽△DGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（3）①先求出直線AC的解析式為，設(shè)直線PE交AC于H，H（m，-

1

2

m+4），過H作HM⊥OA垂足為M，則△AMH∽△AOC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出HM的長，進而可得出結(jié)論；
②分EP⊥AB與PE⊥AE兩種情況進行討論即可．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，△ADC是由△ABC沿AC翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（8，0），則DC=BC=OA=4，
∠D=∠AOE=90°，∠AEO=∠CED，
∵

OA=CD ∠AOE=∠CDE ∠AEO=∠CED

，
∴△AEO≌△CED（AAS），
∴DE=OE，
設(shè)OE=x，則EC=8-x，
∴（8-x）²=x²+4²．
∴OE=3，
∴E點為（3，0）
設(shè)過A，E兩點直線解析式為y=kx+b（k≠0），則

3k+b=0 b=4

，
∴直線AE的解析式為：y=-

4

3

x+4；

（2）過D作DG⊥OC于G，故△CDE∽△DGE，
∵OE=3，
∴EC=5，
∴

DE

EC

=

DG

CD

，

DE

EC

=

EG

DE

，即DG=

12

5

，EG=

9

5

，
∴D（

24

5

，-

12

5

），
由于過點O、D、C的拋物線經(jīng)過原點，則設(shè)y=ax²+bx，而C（8，0），D（

24

5

，-

12

5

），
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24b 5 =- 12 5

，解之得

a= 5 32 b=- 5 4

，
∴y=

5

32

x²-

5

4

x，
∴y=

5

32

x²-

5

4

x=

5

32

（x²-8x+16）-

5

2

=

5

32

（x-4）²-

5

2

，
故經(jīng)點F的坐標為F（4，-

5

2

）；

（3）①易求直線AC的解析式為y_AC=-

1

2

x+4，設(shè)直線PE交AC于H，H（m，-

1

2

m+4），
過H作HM⊥OA垂足為M，則△AMH∽△AOC，
∴

MH

OC

=

AH

AC

，
∴S_△EAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴

AH

HC

=1：3或3：1即

AH

AC

=

MH

OC

=1：4或3：4   
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H₁（2，3），H₂（6，1），
∴直線EH₁的解析式為y=-

11

4

x+

17

2

，當(dāng)y=4時，x=

18

11

直線EH₂的解析式為y=

7

4

x-

19

2

，當(dāng)y=4時，x=

54

7

故當(dāng)t=

18

11

秒或

54

7

秒，直線EP把△EAC分成面積之比為1：3兩部分．
②當(dāng)EP⊥AB時，
∵A（0，4），E（3，0），
∴AP=3，即t=3（s）；
當(dāng)PE⊥AE時，
∵直線AE的解析式為：y=-

4

3

x+4；
設(shè)直線PE的解析式為y=

3

4

x+b，
∵E（0，3），
∴

3

4

×3+b=3，解得b=

3

4

，
∴直線PE的解析式為y=

3

4

x+

3

4

，
∴當(dāng)y=4時，x=

13

3

，
∴AP=

13

3

，即t=

13

3

（s）．
綜上所述，當(dāng)t=

18

11

秒或

54

7

秒或t=

13

3

秒時，直線EP把△EAC分成面積之比為1：3兩部分．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、全等三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．