Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點P是邊AB 上的一個動點，把△APD沿PD向矩形內折疊成△EPD，過E點作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，如果四邊形EFCG與矩形ABCD相似，則AP=

 

．

Answer 1

考點：相似多邊形的性質,翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：延長GE交AB于H，如圖，根據相似多邊形的性質可得EF=2GE，則DG=CD-CG=2-GE，再利用折疊的性質得DE=AD+1，PA=PE，接著根據勾股定理得GE²+（2-GE）²=1²，解得GE=

3

5

，于是可計算出DG=

4

5

，EH=GH-GE=

2

5

，設AP=x，則PE=x，PH=AH-AP=

4

5

-x，然后在Rt△PEH中，根據勾股定理得到（

2

5

）²+（

4

5

-x）²=x²，再解方程求出x的值即可．

解答：解：延長GE交AB于H，如圖，
∵四邊形EFCG與矩形ABCD相似，
∴

GE

AD

=

EF

AB

，即

GE

1

=

EF

2

，
∴EF=2GE，
∴CG=2GE，
∴DG=CD-CG=2-GE，
∵△APD沿PD向矩形內折疊成△EPD，
∴DE=AD+1，PA=PE，
在Rt△DGE中，∵GE²+DG²=DE²，
∴GE²+（2-GE）²=1²，解得GE=

3

5

，
∴DG=

4

5

，EH=GH-GE=

2

5

，
設AP=x，則PE=x，PH=AH-AP=

4

5

-x，
在Rt△PEH中，∵EH²+PH²=PE²，
∴（

2

5

）²+（

4

5

-x）²=x²，解得x=

1

2

，
即AP的長為

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查了相似多邊形的性質為：對應角相等；對應邊的比相等．也考查了折疊的性質和勾股定理．