【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點,與軸交于兩點,其對稱軸與軸交于點.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點,使的周長最。咳舸嬖冢埱蟪鳇c的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)連接,在直線的下方的拋物線上,是否存在一點,使的面積最大?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1),拋物線的對稱軸是;(2)點坐標(biāo)為.理由見解析;(3)在直線的下方的拋物線上存在點,使面積最大.點的坐標(biāo)為.
【解析】
(1)根據(jù)點B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出拋物線的對稱軸;
(2)連接交對稱軸于點,此時的周長最小,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點的坐標(biāo),由點,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點P的坐標(biāo);
(3)過點N作NE∥y軸交AC于點E,交x軸于點F,過點A作AD⊥NE于點D,設(shè)點N的坐標(biāo)為(t,t2-t+4)(0<t<5),則點E的坐標(biāo)為(t,-t+4),進而可得出NE的長,由三角形的面積公式結(jié)合S△CAN=S△NAE+S△NCE可得出S△CAN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.
(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為,
∴,
∴拋物線的對稱軸是;
(2)點坐標(biāo)為.
理由如下:
∵點(0,4),拋物線的對稱軸是,
∴點關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)為(6,4),
如圖1,連接交對稱軸于點,連接,此時的周長最小.
設(shè)直線的解析式為,
把(6,4),(1,0)代入得,
解得,
∴,
∵點的橫坐標(biāo)為3,
∴點的縱坐標(biāo)為,
∴所求點的坐標(biāo)為.
(3)在直線的下方的拋物線上存在點,使面積最大.
設(shè)點的橫坐標(biāo)為,此時點,
如圖2,過點作軸交于;作于點,
由點(0,4)和點(5,0)得直線的解析式為,
把代入得,則,
此時,
∵,
∴
,
∴當(dāng)時,面積的最大值為,
由得,
∴點的坐標(biāo)為.
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【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠ACB=72°,
(1)若BD⊥AC于D,求∠ABD的度數(shù);
(2)若CE平分∠ACB,求證:AE=BC.
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【題目】如圖,在中,,cm, cm,在中,,cm,cm.EF在BC上,保持不動,并將以1cm/s的速度向點C運動,移動開始前點F與點B重合,當(dāng)點E與點C重合時,停止移動.邊DE與AB相交于點G,連接FG,設(shè)移動時間為t(s).
(1)從移動開始到停止,所用時間為________s;
(2)當(dāng)DE平分AB時,求t的值;
(3)當(dāng)為等腰三角形時,求t的值.
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【題目】某公園的門票價格如下表:
購票人數(shù) | 1-50人 | 51-100人 | 100人以上 |
每人門票數(shù) | 13元 | 11元 | 9元 |
實驗學(xué)校初二(1)、二(2)兩個班的學(xué)生共104人去公園游玩,其中二(1)班的人數(shù)不到50人,二(2)班的人數(shù)有50多人,經(jīng)估算,如果兩個班都以班為單位分別購票,則一共應(yīng)付1240元,如果兩班聯(lián)合起來,作為一個團體購票,則可節(jié)省不少錢,你能否求出兩個班共有多少名學(xué)生聯(lián)合起來購票能省多少錢?
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點C,AD⊥EF于點D,∠DAC=∠BAC.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,□ABCD中,∠ABC為銳角,AB<BC,點E是AD上的一點,延長CE到F,連接BF交AD于點G, 使∠FBC=∠DCE.
⑴ 求證:∠D=∠F;
⑵ 在直線AD找一點P,使以點B、P、C為頂點的三角形與以點C、D、P為頂點的三角形相似.(在原圖中標(biāo)出準(zhǔn)確P點的位置,必要時用直尺和圓規(guī)作出P點,保留作圖的痕跡,不寫作法)
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【題目】已知點C在線段AB上,AC=2BC,點D、E在直線AB上,點D在點E的左側(cè)
(1)若AB=18,DE=8,線段DE在線段AB上移動
①如圖1,當(dāng)E為BC中點時,求AD的長;
②點F(異于A,B,C點)在線段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,求AD的長;
(2)若AB=2DE,線段DE在直線AB上移動,且滿足關(guān)系式,則______.
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【題目】如圖,在的正方形網(wǎng)格中,是格點三角形,點的坐標(biāo)分別為,.
(1)在圖中畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系;
(2)畫出關(guān)于直線對稱的,并標(biāo)出點的坐標(biāo);
(3)若點在內(nèi),其關(guān)于直線的對稱點是,則的坐標(biāo)是 .
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【題目】如圖,把一個邊長為a的正方形分成9個完全相同的小正方形,把最中間的一個小正方形涂成白色(圖①),再對其他8個小正方形作同樣的分割(分成9個完全相同的小正方形,把最中間的一個小正方形涂成白色(圖②),繼續(xù)同樣的方法分割圖形(圖③),…得到一些既復(fù)雜又漂亮的圖形,它的每一部分放大,都和整體一模一樣,它是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基構(gòu)造的,也被稱為“謝爾賓斯基地毯”.求:
(1)圖③中最新的一個最小正方形的邊長;
(2)圖③中所有涂黑部分的面積.
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