【題目】是等邊三角形,作直線,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,連接,直線交直線于點(diǎn),連接

1)如圖①,求證:;(提示:在BE上截取,連接.)

2)如圖②、圖③,請(qǐng)直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;

3)在(1)、(2)的條件下,若,則__________

【答案】1)見解析;(2)圖②中,CE+BE=AE,圖③中,AE+BE=CE;(31.54.5

【解析】

1)在BE上截取,連接,只要證明△AED≌△AFB,進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形,得出CE+AE= BF+FE,即可解決問題;

2)圖②中,CE+BE=AE,延長(zhǎng)EBF,使BF=CE,連接,只要證明△ACE≌△AFB,進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形,得出CE+BE= BF+BE,即可解決問題;圖③中,AE+BE=CE,在EC上截取CF=BE,連接,只要證明△AEB≌△AFC,進(jìn)而證出△AFE為等邊三角形,得出AE+BE =CF+EF,即可解決問題;

3)根據(jù)線段,,,BD之間的數(shù)量關(guān)系分別列式計(jì)算即可解決問題.

1)證明:在BE上截取,連接,

在等邊△ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°
由對(duì)稱可知:APCD的垂直平分線,AC=AD,∠EAC=EAD,
設(shè)∠EAC=DAE=x
AD=AC=AB,
∴∠D=ABD=180°-BAC-2x=60°-x,
∴∠AEB=60-x+x=60°
AC=AB,AC=AD

AB=AD,

∴∠ABF=ADE,

,

∴△ABF≌△ADE,

AF=AE,BF=DE,

∴△AFE為等邊三角形,

EF=AE,

APCD的垂直平分線,

CE=DE,

CE=DE=BF,
CE+AE= BF+FE =BE;

2)圖②中,CE+BE=AE,延長(zhǎng)EBF,使BF=CE,連接

在等邊△ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°
由對(duì)稱可知:APCD的垂直平分線,AC=AD,∠EAC=EAD,
AB =AD,CE=DE,

AE =AE

∴△ACE≌△ADE,

∴∠ACE=ADE

AB =AD

∴∠ABD=ADB

∴∠ABF=ADE=ACE

AB=AC,BF=CE

∴△ACE≌△ABF,

AE=AF,∠BAF=CAE

∵∠BAC=BAE+CAE =60°

∴∠EAF=BAE+BAF =60°

∴△AFE為等邊三角形,

EF=AE

AE=BE+BF= BE+CE,即CE+BE=AE;

圖③中,AE+BE=CE,在EC上截取CF=BE,連接,

在等邊△ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°
由對(duì)稱可知:APCD的垂直平分線,AC=AD,∠EAC=EAD,
AB =ADCE=DE,

AE =AE

∴△ACE≌△ADE,

∴∠ACE=ADE

AB =AD

∴∠ABD=ADB

∴∠ABD=ADE=ACE

AB=AC,BE=CF,

∴△ACF≌△ABE,

AE=AF,∠BAE=CAF

∵∠BAC=BAF+CAF =60°

∴∠EAF=BAF+BAE =60°

∴△AFE為等邊三角形,

EF=AE,

CE =EF+CF= AE + BE,即AE+BE=CE;

3)在(1)的條件下,若,則AE=3

CE+AE=BE,

BE-CE=3,

BD=BE+ED=BE+CE=6

CE=1.5;

在(2)的條件下,若,則AE=3,因?yàn)閳D②中,CE+BE=AE,而BD=BE-DE=BE-CE,所以BD不可能等于2AE;

圖③中,若,則AE=3

AE+BE=CE,

CE-BE=3,

BD=BE+ED=BE+CE=6,

CE=4.5

CE=1.54.5

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