Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)M是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上，且AM=BN，連接MN交邊AB于點(diǎn)P．

（1）求證：MP=NP；

（2）若設(shè)AM=x，BP=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)△BPN是等腰三角形時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）見解析

（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，它的定義域是0＜x＜4

（3）

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD∥BC交AB于點(diǎn)D，求出DM=BN，證△MDP≌△NBP即可；

（2）求出AB，根據(jù)△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程即可；

（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．

（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MD∥BC交AB于點(diǎn)D，

∵M(jìn)D∥BC，

∴∠MDP=∠NBP，

∵AC=BC，∠C=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵M(jìn)D∥BC，

∴∠ADM=∠ABC=45°，

∴∠ADM=∠A，

∴AM=DM．

∵AM=BN，

∴BN=DM，

在△MDP和△NBP中

，

∴△MDP≌△NBP，

∴MP=NP．

（2）【解析】
在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，AC=BC=4，

∴．

∵M(jìn)D∥BC，

∴∠AMD=∠C=90°．

在Rt△ADM中，AM=DM=x，

∴．

∵△MDP≌△NBP，

∴DP=BP=y，

∵AD+DP+PB=AB，

∴，

∴所求的函數(shù)解析式為，

定義域?yàn)?＜x＜4．

答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，它的定義域是0＜x＜4．

（3）【解析】
∵△MDP≌△NBP，

∴BN=MD=x．

∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，

∴∠PBN=135°．

∴當(dāng)△BPN是等腰三角形時(shí)，只有BP=BN，即x=y．

∴，

解得，

∴當(dāng)△BPN是等腰三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為．

答：AM的長(zhǎng)為．