Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；3．

【解析】試題（1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；

（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=ACAF，進而求出AD．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．

∵BC與⊙O相切于一點D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB=90°=∠C，

∴OD∥AC，

∵∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴AE=AO=0D，

∴四邊形AODE是平行四邊形，

∵OA=OD，

∴四邊形AODE是菱形．

（2）解：設⊙O的半徑為r．

∵OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

∴，即8r=6（8﹣r）．

解得r=，

∴⊙O的半徑為．

如圖2，連接OD、DF．

∵OD∥AC，

∴∠DAC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DAC=∠DAO，

∵AF是⊙O的直徑，

∴∠ADF=90°=∠C，

∴△ADC∽△AFD，

∴，

∴AD2=ACAF，

∵AC=6，AF=，

∴AD2=×6=45，

∴AD==3．