Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交與C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D（2，3），tan∠DBA=

1

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如答圖1所示，利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，首先求出四邊形BMCA面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答：解：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA=

DE

BE

=

1

2

，
∴BE=6，
∴OB=BE-OE=4，
∴B（-4，0）．
∵點(diǎn)B（-4，0）、D（2，3）在拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）上，
∴

16a-4b-2=0 4a+2b-2=3

，
解得

a= 1 2 b= 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
令x=0，得y=-2，∴C（0，-2），
令y=0，得x=-4或1，∴A（1，0）．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）（m＜0，n＜0），
如答圖1所示，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF=-n，OF=-m，BF=4+m．
S_{四邊形BMCA}=S_△BMF+S_梯形MFOC+S_△AOC
=

1

2

BF•MF+

1

2

（MF+OC）•OF+

1

2

OA•OC
=

1

2

（4+m）×（-n）+

1

2

（-n+2）×（-m）+

1

2

×1×2
=-2n-m+1
∵點(diǎn)M（m，n）在拋物線y=

1

2

x²+

3

2

x-2上，
∴n=

1

2

m²+

3

2

m-2，代入上式得：
S_{四邊形BMCA}=-m²-4m+5=-（m+2）²+9，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．第（2）問面積最大值的問題，利用二次函數(shù)的最值解決．