Question

已知：如圖1，點(diǎn)M在x軸正半軸上，⊙M交坐標(biāo)軸于A、B、C、D點(diǎn)，A（-1，0），C（0，

3

）．

（1）求⊙M的半徑；
（2）如圖2，若點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為弧EF的中點(diǎn)，在弧DF上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接DP，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥DP交PE于點(diǎn)Q連接QF，若N為PE的中點(diǎn)，試判斷DN與QF的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，點(diǎn)P為優(yōu)弧CBD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA、PD，在PA上取點(diǎn)G使得GA=AC，求

PC+PD-CD

PG

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,三角形中位線定理,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題

分析：（1）由A（-1，0），C（0，

3

）可得OA=1，OC=

3

．設(shè)⊙M的半徑為r，在Rt△COM中運(yùn)用勾股定理就可求出⊙M的半徑．
（2）連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)S，使得SD=ED，連接SP并延長(zhǎng)交QF于點(diǎn)R，連接FE、FD、FP、FS、MC，如圖2．先求出

AC

的度數(shù)，然后根據(jù)條件可得到EF是⊙M的直徑．可證到△EDF和△QDP都是等腰直角三角形，從而可以證到△EDQ≌△FDP，則有EQ=FP．根據(jù)三角形中位線定理可得DN∥PS，DN=

1

2

PS；DM∥FS，DM=

1

2

FS．進(jìn)而可以得到EF=FS，∠PEF=∠PFS，從而可以證到△EQF≌△FPS，則有QF=PS，∠EFQ=∠FSP，進(jìn)而可證到DN=

1

2

QF，SR⊥QF，然后由DN∥SR就可得到DN⊥QF．
（3）設(shè)AP與CD交于點(diǎn)K，連接DA、DP，如圖3．根據(jù)勾股定理可求出AC長(zhǎng)，由

AC

=

AD

可得AC=AD．易證△APC∽△ACK，從而可以得到PC=

AP•CK

AC

，同理可得PD=

AP•KD

AD

，進(jìn)而可以得到PC+PD-CD=

3

PG，就可求出

PC+PD-CD

PG

的值．

解答：解：（1）連接MC，如圖1．
∵A（-1，0），C（0，

3

），
∴OA=1，OC=

3

．
設(shè)⊙M的半徑為r，則有MA=MC=r．
∵∠COM=90°，
∴OM²+OC²=MC²．
∴（r-1）²+（

3

）²=r²．
解得：r=2．
∴⊙M的半徑為2．

（2）DN=

1

2

QF，DN⊥QF．
證明：連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)S，使得SD=ED，連接SP并延長(zhǎng)交QF于點(diǎn)R，
連接FE、FD、FP、FS、MC，如圖2．
在Rt△COM中，
∵sin∠CMO=

OC

CM

=

3

2

，
∴∠CMO=60°．
∴

AC

的度數(shù)為60°．
∵M(jìn)A⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴

AD

的度數(shù)為60°．
∵點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，
∴

AE

=

EC

=

1

2

AC

．
∴

AE

的度數(shù)為30°．
∴

DE

的度數(shù)為90°．
∵點(diǎn)D為弧EF的中點(diǎn)，
∴

DE

=

FD

．
∴

DF

的度數(shù)為90°．
∴

EF

的度數(shù)為180°．
∴EF是⊙M的直徑．
∴∠EDF=90°．
∵

DE

=

FD

，∴DE=FD．
∵

DE

的度數(shù)為90°，
∴∠DPE=45°．
∵DQ⊥DP，即∠QDP=90°，
∴∠DQP=90°-45°=45°=∠DPQ．
∴DQ=DP．
∵∠EDF=∠QDP=90°，
∴∠EDQ=∠FDP．
在△EDQ和△FDP中，

DE=DF ∠EDQ=∠FDP DQ=DP

．
∴△EDQ≌△FDP．
∴EQ=FP．
∵N為PE的中點(diǎn)，ED=SD，
∴DN∥PS，DN=

1

2

PS．
∵DE=DS，ME=MF，
∴DM∥FS，DM=

1

2

FS．
∴∠EFS=∠EMD=90°，EF=FS．
∵EF是⊙M的直徑，
∴∠EPF=90°．
∵∠EFS=∠EPF=90°，
∴∠PEF=90°-∠EFP=∠PFS．
在△EQF和△FPS中，

EF=FS ∠QEF=∠PFS EQ=FP

．
∴△EQF≌△FPS（SAS）．
∴QF=PS，∠EFQ=∠FSP．
∴DN=

1

2

PS=

1

2

QF，∠FSP+∠RFS=∠EFQ+∠RFS=90°．
∴∠SRF=90°，即SR⊥QF．
∵DN∥PS，即DN∥SR，
∴DN⊥QF．

（3）設(shè)AP與CD交于點(diǎn)K，連接DA、DP，如圖3．
∵∠AOC=90°，OA=1，OC=

3

，
∴AC=

OA2+OC2

=2．
∵

AC

=

AD

，
∴AC=AD=2．
∵

AC

=

AD

，
∴∠ACD=∠APC．
∵∠KAC=∠CAP，
∴△APC∽△ACK．
∴

PC

CK

=

AP

AC

．
∴PC=

AP•CK

AC

．
同理可得：PD=

AP•KD

AD

．
∴PC+PD-CD
=

AP•CK

AC

+

AP•KD

AD

-CD
=

AP•CK

2

+

AP•KD

2

-2CO
=

AP•CD

2

-2

3

=

3

AP-2

3

=

3

（AG+PG）-2

3

=

3

（AC+PG）-2

3

=2

3

+

3

PG-2

3

=

3

PG．
∴

PC+PD-CD

PG

=

3 PG

PG

=

3

．
∴

PC+PD-CD

PG

的值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓弧與圓心角與弦的關(guān)系、圓周角定理、垂徑定理、特殊角的三角函數(shù)值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)，難度比較大．而證到△EDF和△QDP都是等腰直角三角形，從而證到△EDQ≌△FDP，進(jìn)而證到△EQF≌△FPS是解決第（2）小題的關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得到PC=

AP•CK

AC

，PD=

AP•KD

AD

是解決第（3）小題的關(guān)鍵．