Question

一條直線y₁=kx+b（k≠0）與x軸交于點E，與y軸交于點F（0，1），且∠FEO=45°．
（1）求這條直線的解析式；
（2）求這條直線與直線y=-2x+4的交點P的坐標，且直線y=-2x+4與x軸交于A；
（3）求四邊形AOFP的面積．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）利用△FOE為等腰直角三角形得到OE=OF=1，則E點坐標為（-1，0）或（1，0），然后利用待定系數(shù)法求出兩種情況下的直線解析式；
（2）根據(jù)兩直線相交的問題解由兩直線解析式所組成的方程組得到它們的交點坐標；
（3）根據(jù)畫圖得到只有直線解析式為y=x+1時，才得到四邊形AOFP，然后兩三角形面積的差計計算四邊形AOFP的面積．

解答：解：（1）∵∠FEO=45°，
∴△FOE為等腰直角三角形，
∴OE=OF=1，
∴E點坐標為（-1，0）或（1，0），
把E（-1，0）、F（0，1）代入線y₁=kx+b得

k-b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，則直線解析式為y=x+1；
把E（1，0）、F（0，1）代入線y₁=kx+b得

k+b=0 b=1

，解得

k=-1 b=1

，則直線解析式為y=-x+1；
（2）當直線解析式為y=x+1時，解方程組

y=x+1 y=-2x+4

得

x=1 y=2

，所以P點坐標為（1，2）；
當直線解析式為y=-x+1時，解方程組

y=-x+1 y=-2x+4

得

x=3 y=-2

，所以P點坐標為（3，-2）；
（3）只有直線解析式為y=x+1時，才得到四邊形AOFP，
四邊形AOFP的面積=S_△PAE-S_△OEF
=

1

2

×（2+1）×2-

1

2

×1×1
=

5

2

．

點評：本題考查了兩直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．