Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，B，AB＝2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設D為拋物線的頂點，連接DA、DB，試判斷△ABD的形狀，并說明理由；

（3）設P為對稱軸上一動點，要使PC﹣PB的值最大，求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為y＝x2﹣4x+3；（2）△ADB是等腰直角三角形；理由見解析；（3）P（2，﹣3）．

【解析】

（1）根據拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根．由韋達定理易求b、c的值；

（2）先求出頂點D的坐標，再由勾股定理的逆定理證明△ABD是直角三角形，再由對稱得AD＝BD，進而得△ABD是等腰直角三角形；

（3）連接CA，延長CA與直線x＝2交于點P，連接BP，此時P點就是PC﹣PB的值最大的點，求出直線AC的解析式，再求直線AC與直線x＝2的交點坐標便可．

（1）如圖，∵AB＝2，對稱軸為直線x＝2．

∴點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（3，0）．

∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，B，

∴1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根．

由韋達定理，

1+3＝﹣b，1×3＝c，

∴b＝﹣4，c＝3，

∴拋物線的函數表達式為y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴D（2，﹣1），

∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，

∵AB2＝22＝4，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴△ADB是直角三角形，

由對稱性有AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形；

（3）連接CA，延長CA與直線x＝2交于點P，連接BP，如圖2，

∵A、B兩點關于直線x＝2對稱，

∴PB＝PA，

∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一點P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），

令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，

∴C（0，3），

∵A（1，0），

∴易求直線AC的解析式為：y＝﹣3x+3，

當x＝2時，y＝﹣3x+3＝﹣3，

∴P（2，﹣3）．